第二章点直线平面之间的位置关系.doc

第二章　点、直线、平面之间的位置关系 §2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1　平　面 自主学习 学习目标 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力． 自学导引 1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号：____________________________________________________________________. 2．公理2：过不在一条直线上的三点，__________一个平面． 3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线． 符号：__________________________________________________________________. 4．用符号语言表示下列语句： (1)点A在平面α内但在平面β外：________________. (2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________. (3)直线l在面α内也在面β内：________________. (4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________. 对点讲练 知识点一　点、线共面 例1　已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面． 点评　证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合． 变式训练1　两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内． 知识点二　证明多点共线问题 例2　 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P， AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R三点共线． 点评　证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．方法二的思想为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法． 变式训练2　 如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线． 知识点三　证明线共点问题 例3　在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 求证：EF，GH，BD交于一点． 点评　证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论． 变式训练3　 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点． 1．三个公理的作用： 公理1——判定直线在平面内的依据； 公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据． 2．注意事项 (1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的． (2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆． (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化. 课时作业 一、选择题 1．下列命题： ①书桌面是平面； ②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m，宽是20 m； ④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．点A在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为(　　) A．A∈l，l∈α B．A∈l，lα C．Al，l∈α D．Al，lα3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈βaβ B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈βα∩β＝MN C．A∈α，A∈βα∩β＝A D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线α、β重合 5．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且Cl，AB∩l＝R，