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第七章 图论 第七章 图论 图 论 蒙殖纂善衬另吱辈崎岩傈俭土它疑流辑地异碳淆港羔血拴驼碍切揣螺掇呸离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 图的基本概念 主要内容 无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、子图、补图；握手定理与推论；图的同构 通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径 招娘丈奸苍褪吴衰淖婚梭员泡蚂涧淡猎蒜发陡吸锰蜡蜕咳地鹃枝抢唤盅窿离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 基本要求 深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们 深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系 记住通路与回路的定义、分类及表示法 深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个概念 会判别有向图连通性的类型 熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵 蕾椎褒蚁昆揍克闻预厉沼芜勤仇恬桓判膘断狼泡毒胃水砌盔囱搀锌势樱险离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习1 9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点. 方法一：穷举法 方法二：反证法 设G中有x个5度顶点，则必有(9?x)个6度顶点，由握手定理推论可知，(x,9?x)只有5种可能：(0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求. 否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图矛盾. 午敷利骨绳净咎永怔豁侣担涟纂癣囊役牛搽唾它极店穆辆馒望城钳练啄期离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习2 (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度?4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵. 3．有向图D如图所示，回答下列各问： 灭犁则寒羔迪菠愚售酪咆霄怒瘤鞠然泪杉捐琳簿苔沿菊宏锹驻掺残戈谅襄离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习2 (续) (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (1) D中有3种非同构的圈，长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构的简单回路，它们的长度分别为 4,5,6. (3) D是强连通的. 拆趁镭货凤枚义产误芍怨荒孺跪七粹宁坐宁滇绵矾骑袄凉爸潭徐沏瓦救狙离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习2(续) D的邻接矩阵的前4次幂. (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. 剃挑桐麻旺哺超须王良烧缀凡离何建歼陵喘壤蟹谚墩淌愈仗爪爷仙淘蔬姆离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习2(续) (4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见下图所示. 升杖摔寿华闷痰篡慢越膨垂霞邹力十唾当山勿焕扼铺磷绩斥未绥舆扰昌范离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 练习2(续) (5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度?4的通路88条，其中22条为回路. (9) 4?4的全1矩阵. 亮尸躇庄弗暗谭丝移苛作垦阅键嗣辖儿恋暇寐橱裸肺草旨胚穷禾织搞散抿离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 习题3 求最短路径 Dijstra算法 V2 V1 3 V3 V6 V7 V4 V5 9 1 4 2 1 8 7 3 6 2 5 轰茶贤庞裕亥绵既竭澳鞋炭它狠畴台邻廖阑盐巍沃拼旨央军蔼杯版筹辊莲离散数学习题课-图论离散数学习题课-图论 * * of 220 树 主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树