微分方程稳定性理论简介.ppt

6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解). 如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 (3) 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下面介绍直接法. 将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为 (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f (x0) 0，则x0对于方程(4)和(1)都是稳定的; 若f (x0) 0，则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的. 注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记f (x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a 0时(3)式成立. 二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为 (6) 右端不显含t，是自治方程. 代数方程组 (7) 的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点，记作P0(x10, x20). 如果存在某个邻域，使方程(6)的解x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0))出发，满足 (8) 则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则，称P0是不稳定的(不渐进稳定). 先看线性常系数方程 (9) (非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作 (10) 为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定性，假定A的行列式 detA ? 0 . (11) P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A ? ?I) = 0 (12) 的根?(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰的形式 (13) 将特征根记作?1, ?2，则 (14) 方程(9)的一般解具有形式 或 c1, c2为任意常数. (注意：课本p199是否误为 ) 按照稳定性的定义(8)式可知，当?1, ?2均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平衡点; 而当?1, ?2有一个为正数或有正实部时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下?1, ?2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p 0, q 0，则平衡点稳定; 若 p 0, q 0，则平衡点不稳定. ? 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性方程来讨论. 6.2 军备竞赛 ? 两个国家或国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量，防御对方可能发动的战争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的一个模型. 军备竞赛 (arms race) 军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主要在美国、苏联两国之间