流体力学第4章 流体动力学基础要点.ppt

* 本章研究液体机械运动的基本规律，主要介绍流体运动遵循的普遍规律并建立相应的方程式，为后续各章学习和解决实际工程问题奠定理论基础。 主要内容： 流体的运动微分方程 重力作用下理想流体元流的伯努利方程 实际流体的伯努利方程、总水头线、测压管水头线及其坡度 恒定总流的动量方程 4.1 理想流体的运动微分方程 在流场中任取一以O（x,y,z）为中心的微小平行六面体为控制体进行分析。 现在对由控制体包围的流体微团进行受力分析。作用在该流体微团上的力有表面力和质量力。 a b c d a’ b’ c’ d’ x y z o dx dy dz ux O 为简单计，控制体的三个相邻边长为dx,dy,dz，且分别和三个坐标轴平行。控制体中心处流体的压强为p（x,y,z,t）。 M N 现在来分析理想流体质点的作用力和运动的关系。 因为这里考虑的是理想流体，忽略粘性，因此在表面上没有摩擦力，只有动水压力。将O点的压强用泰勒级数展开，并略去二阶以上微量，可得六面体六个表面中心点的压强。比如，两个与x轴垂直的面abcd和a’b’c’d’的中心点M和N点的压强分别为 a b c d a’ b’ c’ d’ x y z o dx dy dz ux O 根据牛顿第二定理：作用于流体微团上的外力在某一轴上的投影的代数和等于该流体微团的质量乘以加速度在该轴上的投影。于是，在x方向，有 M N 作用于流体微团上的单位质量力在三个坐标轴上的分量分别为fx,fy,fz。因为流体微团非常小，可认为质量力在微团内均匀分布，表面力在表面上均匀分布。 整理后，得 将右边的加速度项用当地加速度和迁移加速度表示，有 同理可得在y和z方向，有 理想流体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。 该方程对所有理想流体的运动都实用，含有4个未知量，综合连续性微分方程后方程组封闭，可以求解。 4.2 粘性流体的运动微分方程 分析方法与理想流体类似 经过推导，可得运动方程如下： a b c d a’ b’ c’ d’ x y z o dx dy dz ux O 只不过此时需要考虑粘性，因此在表面上有摩擦力存在，根据牛顿内摩擦定律，摩擦力与流体粘性系数和流速梯度成正比。 M N 分析粘性流体质点的作用力和运动的关系。 τ τ‘ 式中的拉普拉斯算子 粘性流体的运动微分方程，又称为纳维-斯托克斯方程，也称N-S方程。 流体的粘性产生摩擦力，摩擦力将产生能量耗散，因此，粘性流体在流动中，能量将产生损失。 4.3 重力作用下理想流体元流的伯努利(Bernoulli)方程 ①恒定流： 欧拉方程是非线性偏微分方程，并且一般流动的初始条件和边界条件通常都很复杂，因此只能对某些特定条件下的情况才能求解。若流动满足以下特定条件： ②液体是均质不可压缩的： ③质量力有势： ④沿流线积分： 对于恒定流，流线和迹线重合，因此有 该积分条件称为伯努利积分条件。 运动微分方程 对于恒定流，压强与时间无关，即p=p(x,y,z)则 因为质量力有势，则 又因为 所以有 又因为密度为常数，整理得 此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分，它表明： 积分得 对于不可压缩理想流体，在有势质量力作用下作恒定流动时，在同一条流线上 (W－p/ρ-u2/2)的值保持不变。该值称为伯努利积分常数，一般对于不同的流线，积分常数不同。 当元流的过水断面面积趋于零时，元流便是流线。 各项同除以g，得 因此，对元流有 该式即为理想流体元流的伯努利方程。 （1）重力作用下理想流体元流的伯努利方程 若质量力只有重力，则有 对静止流体，u=0,则变为 显然，该式即为水静力学基本方程。 压强水头，表示单位重量流体的压能（压强势能）。 位置水头，表示单位重量流体相对于某基准面的位能。 流速水头，表示单位重量流体的动能。 （2）理想流体元流的伯努利方程中各项的物理意义和几何意义 测压管水头，表示单位重量流体相对于某基准面的势能，即重力势能和压强势能之和。 总水头，表示单位重量流体的总机械能。 物理意义 可见，伯努利方程的物理意义是：对于同一元流（流线）的恒定流流体，任一断面上的总水头相等，即单位重量流体的机械能守恒。因此伯努利方程属能量方程。 压强水头，表示测压管中液柱液面高度相对于测点的位置高度。 位置水头，表示元流过水断面相对于某一基准面的位置高度 流速水头，表示测速管液面相对于测压管液面的高度。关于测速管的问题将在后面讨论。 （2）理想流体元流的伯努利方程中各项的物理意义和几何意义 测压管水头，表示在元流管壁安置的测压管中液面相对于基准面 的高度。 总水头，表示测速管液面相对于基准面的高度。 几何意义 测压管水头线：各过水断面上测压管中液面的连线。 可见：元流中心线、测压管水头线和总水头线分别表示的是元流的位能、势能和总机械能的沿程变化情况。可见