311方程的根与函数的零点.docVIP

3.1.1 方程的根与函数的零点 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系. （2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想. 2．过程与方法 由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣. （二）教学重点与难点 重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法. 难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用. （三）教学方法 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合. （四）教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 观察下列三组方程与函数 方 程 函 数 x2–2x–3 = 0 y=x2–2x–3 x2–2x+1 = 0 y=x2–2x+1 x2–2x+3 = 0 y=x2–2x+3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系 师生合作 师：方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1，3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1，0) (3，0) 生：x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1. 函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1，0). x2 – 2x + 3 = 0没有实根 函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点 以旧引新，导入课题 概念形成 1.零点的概念 对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点 2.函数的零点与方程根的关系 方程f (x) = 0有实数根函数 y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点 3.二次函数零点的判定 对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2 – 4ac 判别 式 方程ax2 + bx + c = 0的根 函数y = ax2 + bx + c的零点 △＞0 两不相等实根 两个零点 △=0 两相等实根 一个零点 △＜0 没有实根 0个零点 师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义 师：考察函数①y = lgx ②y = lg2(x + 1) ③y = 2x ④y = 2x – 2的零点 生：①y = lgx的零点是x = 1 ②y = lg2(x + 1)的零点是x=0 ③y = 2x没有零点 ④y = 2x – 2的零点是x = 1 归纳总结 感知概念 分析特征 形成概念 概念深化 引导学生回答下列问题 ①如何求函数的零点？ ②零点与图象的关系怎样？ 师生合作，学生口答，老师点评，阐述 生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根 ②零点即函数图象与x轴交点的横坐标 ③求零点可转化为求方程的根 以问题讨论代替老师的讲援 应用举例 练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0的x的取值范围 练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象 练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1） –x2+3x+5 = 0；（2）2x (x–2) = –3； （3）x2 = 4x – 4； （4）5x2+2x=3x2+5. 学生自主尝试练习完成练习1、2、3 生：练习1解析：零点–3，1 x∈(–3，1)时y＞0 时y＜0 练习2解析：因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)， 所以已知函数的零点为–1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]， 在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表： x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … –4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 … 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示 练习3解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根. （2）2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0 令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x (