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第五章 参数估计基础 抽样分布与抽样误差 抽样研究的目的是用样本信息推断总体特征，即用样本资料计算的统计指标推断总体参数 常用的统计推断方法有参数估计（总体均数和总体概率的估计）和假设检验 抽样分布与抽样误差 样本均数的抽样分布与抽样误差 假定某年某地所有13岁女学生身高服从总体均数? =155.4cm, 总体标准差? =5.3cm的正态分布N（?，?2）。在这样一个有限的总体中作随机抽样，共抽100次。每次均抽取30例（ni = 30）组成一份样本，可以算出每一份样本的平均身高.最终计算得到153.6, 153.1, 154.9,····157.7等100个样本均数,列于表5-1第2栏。现将这100个样本均数看成新的随机变量绘制频数分布表，如表5-2所示 抽样分布与抽样误差 样本均数的抽样分布具有以下特点： 1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数（155.4cm），中间多、两边少，左右基本对称，也服从正态分布。 4．样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小 抽样分布与抽样误差 抽样误差：抽样造成的这种样本均数与样本均数之间、样本均数与总体均数之间的差异。 标准误：用于表示均数抽样误差大小的指标，也叫样本均数的标准差，它反映了样本均数之间的离散程度。 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 标准误的计算公式(5-1),(5-2)： 样本均数标准误的大小与标准差成正比，则与样本含量n的平方根成反比，即在同一总体中随机抽样，样本含量n越大，抽样误差越小。所以在实际应用中可通过增加样本含量n来减小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。 抽样分布与抽样误差 非正态总体样本均数的抽样实验（实验5-2）。 图5-1（a）是一个正偏峰的分布， 用电脑从中随机抽取样本含量分别为5，10，30和50的样本各1000次，计算样本均数并绘制4个直方图 抽样分布与抽样误差 图5-1（b）~ (e) 显示，样本均数的总体均数也为仍等于原来的总体均数 ?，样本均数的标准误为仍满足（5-1）式 ； 当样本量n较小时，样本均数的分布当然并非正态分布，样本量足够大时（例如，n ? 50），样本均数的分布近似于正态分布。 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 抽样分布与抽样误差 例5-1 2000年某研究者随机调查某地健康成年男子27人，得到血红蛋白量的均数为125 g /L，标准差为15 g /L。试估计该样本均数的抽样误差。 = = = 2.89g /L 　　 抽样分布与抽样误差 样本频率的抽样分布与抽样误差 实验4.2 ：在一口袋内装有形状、重量完全相同的黑球和白球，已知黑球比例为20%（总体概率π=20%），从口袋中每摸一次看清颜色后放回去，搅匀后再摸，重复摸球35次（n=35）,　计算摸到黑球的百分比（样本频率p i）。重复这样的实验100次，每次得到100个黑球的比例分别为14.4%, 19.8%, 20.2%, 22.5%,······等，将其频数分布列于表5-3。 抽样分布与抽样误差 频率的抽样误差：这种样本率样本频率与样本率样本频率之间、样本率样本频率与总体率总体概率之间的差异。 频率的标准误：表示频率的抽样误差的指标 抽样分布与抽样误差 样本频率 的总体均数参数为π， 率的标准误计算公式（5-3）： 公式（5-4） 抽样分布与抽样误差 例5-2 某市随机调查了50岁以上的中老年妇女776人，其中患有骨质疏松症者322人，患病率为41.5%，试估计该样本频率的抽样误差。 p = 41.5% = 0.415，n = 776 = t分布 t分布的概念 从正态分布N（?,?2）抽得样本的均数也服从正态分布,记为N（?, ）。对正态变量 作变换 实际工作中，当 未知时，常用 来代替 对正态变量 采用的不是z 变换, 而是t变换 t分布 英国统计学家W.S.Gosset于1908年以“Student”笔名发表论文，证明它服从自由度? = n ? 1的t分布，即 ~ t分布， ? = n ? 1 (5-7) 又称Student t分布（Student’s t-distribution）。实际上，t分布十分有用，它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。 t分布 t分布的图形和t分布表