第四章不定积分.ppt

第四章 第一节 一、 原函数与不定积分的概念 问题: 定理 2. 定义 . 二、不定积分的几何意义: 例. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 四、不定积分的性质 练习. 若 小结： 1、不定积分的概念 2、积分与导数（微分）间的关系：互逆 3、不定积分的性质 第二节 一、不定积分的基本公式 例 . 求 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 练习. 求下列积分: 小结： 不定积分的基本公式 灵活利用基本公式直接积分（三角公式） 第三节 一、第一类换元法 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 例 . 求 常用的几种配元形式: 二、第二类换元法 定理 . 设 例. 求 例. 求 例. 求 例. 求 常用基本积分公式的补充 第四节 例. 求 例. 求 例. 求 解题技巧: 例. 求 解: 类似 解: 想到公式 想到 解: 解: 原式 = 例. 求 解: 原式 = 例. 求 解: 原式 = 解: ∴ 原式 = 解: 万能凑幂法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式 解: 令 则 ∴ 原式 解: 令 则 ∴ 原式 解: 令 则 ∴ 原式 解: 原式 例. 求 解: 小结：第一类换元法（凑微分） 第二类换元法（去根号） 作业： 课本页2， 2）3） 11） 13）17）25）40） 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 分部积分法 第四章 被积函数：1、幂函数乘三角函数 幂函数乘指数函数 令幂函数为U 2、幂函数乘反三角函数 幂函数乘对数函数 令反三角函数（对数函数）为U 分部积分法的步骤： 一、确定U，U不变 二、其余的凑微分 解: 令 ∴ 原式 思考: 如何求 提示: 令 原式 解: 令 原式 * * 微分法: 积分法: 互逆运算 不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质 § 4.2 不定积分的基本公式与直接积分法 § 4.3 换元积分法 § 4.4 分部积分法 二、 不定积分的几何意义 三、不定积分运算与导数、微分运算之间 的关系 一、 原函数与不定积分的概念 不定积分的概念与性质 第四章 四、不定积分的性质 定义 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 有几个 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 3.多个原函数间有怎样的联系？ ( C 为任意常数 ) （无穷个） 证: 定理3. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 记作 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 三、不定积分运算与导数、微分运算间的关系 或 或 利用逆向思维 练习：课本92页，第4题 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 B ? 或由题意 其原函数为 作业：课本92页，2， 5，2)、3)、8) 一、 不定积分的基本公式 二、直接积分法 不定积分的基本公式 与直接积分法 第四章 ( k 为常数) 或 或 解: 原式 = 例. 求 解: 原式= 二、直接积分法 解: 原式 = 例. 求 解: 原式= 解: 原式 = 例. 求 解: 原式= 解: 原式 = 例. 求 解: 原式 = 解: 原式 = 提示: 作业：课本95页 1、1）2）3）6）7）8） 二、第二类换