第四章分部积分法.ppt

* 分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 一、基本内容 注 分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置 分部积分公式的作用：当左边的积分 不易求得，而右边的积分 容易求得 利用分部积分公式——化难为易 例1 求积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是： （1）积分容易者选为v （2）求导简单者选为u 分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分 之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。 例2 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 例3 求积分 解 令 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。 例4 求积分 解 总结 例5 求积分 解 注：本题也可令 分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C 例6 求积分 解 注意循环形式 例7 解 例8 解 若设 则上述计算公式可表为 ——递推公式 反复使用递推公式，最后归结为求 的一次幂或零次幂的不定积分 例9 解一 令 解二 直接分部积分 对 分子分母同乘以 令 或 分子分母同乘以 令 解三 彻底换元 令 则 例10 [分析] 需要将 作为整体来考虑 解 分子分母同乘以 令 例11 求积分 解 *