第四章数字特征.ppt

? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 方差是随机变量的又一数字特征。它刻画了随机变量取值在其中心位置的分散程度，也就是随机变量取值与平均值的偏离程度。 设随机变量X的期望为E(X)，偏离量X-E(X)也是随机的，为了刻画偏离程度的大小。 数学上采用： 的平均值来度量偏离程度，这个平均值就是方差。 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 一.方差的定义 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 3.若X 的取值比较分散，则方差较大 . 4.若方差Var（X）=0,则X 以概率1取常数值 . 1.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 2.若X 的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E{[X-E(X)]2 } ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 二.方差的计算 由定义，方差是随机变量X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 . Var(X)=E[X-E(X)]2 (1) X为离散型，P{X=xk}=pk (2) X为连续型，X~f(x) (3) 常用另一公式 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 Very very important ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：Var(X)=E {[X-E(X)]2 } =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 例 已知X的分布律 X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 解 E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1 E(X2)=02×0.2+12×0.5+22×0.3=1.7 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=1.7-1.12=0.49 . 求Var (X)。 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 例 已知X的概率密度函数为 Var (X)=E(X2)-[E(X)]2 解 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/2-(2/3)2=1/18 . 求Var (X)。 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 例 已知X的概率密度函数为 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 解 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6-02=1/6 . 求Var (X)。 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 三.方差的性质 Very very important ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 随机变量的标准化 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 四. 常见分布的方差 . 解 X的分布律为 而 可得 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 由方差的性质 可得 ～ ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 解 X的分布律为 而 可得 ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 ～ ? 第四章 随机变量的数字特征 §4.2 方差 ～ 解 X的概率密度为 ? 第四章 随机变量的数字特征 §