第四章非线性方程数值解法.ppt

例4.求 的一个根，要求 解. 0 1 2 6 7 0 0.4771 0.3939 0.3758 0.3758 作一阶泰勒展开，即用前两项近似代替 则近似方程转化为 设 ，上式解为 方程 的新的近似根 ，则得牛顿迭代的计算公式 §3 牛顿迭代法与弦截法 设 是非线性方程 的一个近似根，把 在 处 一、牛顿迭代公式 曲线 在点 处的切线方程为: 因此，牛顿迭代法又称为切线法。 牛顿迭代公式具有明显的几何意义: 切线与 轴交点的横坐标为 。 二、牛顿迭代法收敛的充分条件 具有相同的根。因此，牛顿迭代法是一种以 为迭代函数的迭代法。 当 时，方程 与 定理3 对方程 ，若存在区间 ，使 （3）对任意 ，都有 ； （2） 在 上不变号； （1） ； （4） 在 上的唯一实根 。 则牛顿迭代公式产生的迭代序列 收敛于方程 满足定理条件只有四种情况; 证明.以下仅证明第一种情况: ，由微分中值定理， 。由条件（2）和（3）知 由条件（4）知 。同理可证 严格单调递减且有下界收敛， 不妨设 。 定理4 设 ，若在 的某邻域内 Newton迭代法 产生的数列 以不低于二阶收敛速度收敛于 连续，则存在 ，对于任意 ，由 ，则 ，得到牛顿迭代公式 解：设 ，则 ， 计算结果如下 因为 ，所以 为满足精度要求的近似根。 准确到 。 例5 用牛顿迭代法求方程 的实根，要求 易验证， 在 上满足定理3的条件。取 三、单点弦截法 得到如下迭代公式： 给定初值 称公式为单点弦截法。 单点弦截法具有线性敛速。 单点弦截法使用条件与Newton迭代法一样(包括初值选取)。 公式的几何意义是： 不如牛顿法，且需提供两个初始值 。 单点弦截法的优点是避 免了求导数。不足是收敛速度 过 ， 的弦为: 四、双点弦截法 得到如下迭代公式： 给定初值 称公式为双点弦截法。 双点弦截法具有1.618阶敛速。 双点弦截法使用条件与Newton迭代法一样(包括初值选取)。 公式的几何意义是： 牛顿法与单点弦截法之间，且需提供两个初始值 。 双点弦截法的优点是避 免了求导数。收敛速度介于 过 ， 的弦为: 例6 设有非线性方程 ,写出Newdon迭代公式与单点弦切公式,并用双点弦截法求方程在区间 内的一个根,使 。 解：取初始值为 Newdon迭代公式公式为 取初始近似根 ，单点弦切公式为 取初始近似根 ，双点弦截公式为 计算结果列于下表 0 1 2 3 4 5 6 1.5 1 1.266667 1.315962 1.325214 1.324714 1.324718 0.875 -1 -0.234369 -0.0370369 0-0.000016876 0.000000182 因为 ，所求近似根为 。 解、令 则 且 在[1，2]上严格单调增加，则 练习、设有非线性方程 ,写出Newdon迭代公式 与单点弦切公式,并用双点弦截法求方程的一个正根。 第四章 非线性方程数值解法 若在区间 上方程 有唯一解，则称 为 方程的一个隔根区间。 设有非线性方程 ，若存在 使得 ，则称 为方程的一个根，或 为函数 的一个零点。方程数值解指对于给定的绝对误差限 ，求 使 （2）近似根精确化。用