线性代数4.ppt

* * 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 4.1 齐次线性方程组 讨论含有 个方程, 个未知数的齐次线性方程组 写成矩阵形式 ,其中 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 讨论齐次线性方程组解的性质: 性质1 若 是齐次线性方程组(4.1)的两个解,则 (1) 也是方程组(4.1)的解; (2) 也是方程组(4.1)的解,其中 为任意实数. 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 定义4.1.1 一个齐次线性方程组的有限个解 ,若满足 (1) 线性无关; (2) 齐次线性方程组(4.1)的任意一个解都可由 线性 表示,则称 为齐次线性方程组(4.1)的一个基础解系. 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 定理2 若一个齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系中所含解向量个数为 ，其中 为未知数个数， 为系数矩阵的秩。 为齐次线性方程组（2）的一个基础解系的充分 必要条件为：1. 为该齐次线性方程组的解。 2. 线性无关。 3. ，即个数够了。 定理4.1.1 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 定理4.1.1证明：设齐次线性方程组系数矩阵 为 ： 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 相应的阶梯形方程组为: 定理4.1.2 若齐次线性方程组的基础解系为 , 则方程组的一般解(通解)为 其中 为任意常数. 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 例1 求下列齐次线性方程组的通解 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 练习 求下列齐次线性方程组的通解 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 例2 设齐次线性方程组 问(1) 为何值时,方程组有且仅有全零解; (2) 为何值时,方程组有非零解,并求出通解. 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 例3 设 是某个齐次线性方程组 的基础解系, 证明: 一定是 的基础解系. 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 例3 设 的矩阵,且 ,试证: (1)矩阵 的每个列向量都是齐次线性方程组 的解; (2) . 线性代数 第4章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 讨论含有 个方程, 个未知数的非齐次线性方程组 (4.2) 线性代数 第4章 线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 写成矩阵形式 ,其中 增广矩阵为 线性代数 第4章 线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 定理4.2.1 线性方程组 有解的充分必要条件是 . 分析 方程组可写成向量形式 方程组