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* 线性代数基础知识 1、矩阵 2、线性方程组 3、直线 * 行矩阵或行向量: 列矩阵或列向量: 矩阵： 矩阵： aij：矩阵第i行、第j列元素. 矩阵： * 1、 矩阵的运算 加法； 2、 矩阵的行列式 3、 可逆矩阵 4、 分块矩阵 5、 初等变换 6、 初等矩阵 加法； 7、 矩阵的秩 AB=BA=I 则A-1= B 乘法。 转置； 数乘； 乘法。 数乘； 转置； * 1、 矩阵的运算： 加法： 矩阵乘法** C=AB 其中 矩阵转置 矩阵的数量乘法: * 令 A为系数矩阵，X为未知量矩阵，b为常数项矩阵. 则 例 m个方程，n个未知量 线性方程组的矩阵表示形式: * 令 则线性方程组可表示为 线性方程组的向量表示： * |A|≠0 定理： 并且当A可逆时，有 矩阵A可逆 即A为非奇异矩阵 初等行变换 初等列变换 求法： * 分块矩阵： A11 A12 A21 A22 * 分块矩阵的运算 1 加法 其中 子块 都是 的同型矩阵，则 * 2 数乘 3 转置 * 4 乘法 分块矩阵 Am×s与Bs×n 的积，应使A的列的分法与B的行列式相同. C=AB * 设 ， (2) 用一个非零的数乘以A的某一行(列)； (3) 将A的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。 (1) 交换A的某两行(列)； 三种初等行(列)变换： * 三种初等矩阵： (1) 互换I的i, j两行， 0 0 0 0 1 1 结论：矩阵A左乘E(i,j)，相当于互换A的i, j两行 或i, j两列， 得 * (2) I的第i行(或第i列)乘以不为零的数k，得 k 结论：矩阵A左乘E(i(k))，相当于A的第i行乘以数k * (3) 把I第j行的k倍加到第i行， 结论：矩阵A左乘E(ij(k))，相当于将A的j行乘以数k后加到A的第i行 。 或第i列的k倍加到第j列， 得 * 结论1 ： 其中矩阵D称为矩阵A的等价标准形. 用初等变换求逆矩阵： 初等行变换 初等列变换求A的逆矩阵的办法： 结论2 ： 用初等行变换求逆矩阵： 初等列变换 任意矩阵 经过有限次初等变换， 总可以化为形如 的矩阵. * 定义: 在m×n矩阵 A=[aij]中任取k行、k列 (k≤min(m,n)) 位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式. 矩阵的秩: A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩; 记作秩(A)=r或R (A)=r; 即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时， R (A)=r. k阶子式: * 矩阵Am×n的秩有下述性质： 当R (A)=m时，称A为行满秩矩阵； 当R(A)=n时，称A为列满秩矩阵. (3) 若A有一个k阶子式不为零，则 若A所有k＋1阶子式都为零，则 . 当 R(A)=min(m,n)时，称矩阵 A为满秩矩阵. (4) n阶矩阵A的秩R(A)=n的充要条件为矩阵A可逆. * 线性代数基础知识 1、矩阵 2、线性方程组 3、直线 * 第二部分 线性方程组 线性方程组的基本概念 含有m个方程、n个未知量的线性方程组的一般形式为 齐次线性方程组： 非齐次线性方程组： bi不全为零 * 线性方程组矩阵形式： A为系数矩阵; X为未知量列向量; b为常数项列向量 [A, b] 为增广矩阵. AX＝b 无解 线性方程组的解： 惟一解 无穷多解 有非零解 齐次线性方程组的解： 只有零解 * 若 R(A)= r n : 基础解系： 齐次线性方程组解集的最大无关组 方程组必有基础解系 ; 基础解系所含线性无关解向量个数等于n-r ; n-r 也是方程组的自由未知数的个数. 解非齐次线性方程组的过程： 求相应齐次线性方程组的基础解系； 求非其次方程组一特解； 特解与基础解系的线性组合即为非其次方程组的通解。 非基变量 非基变量取0 * 解： [A b]= 还原方程组 x2、x3为自由未知量. 例： 或x2、x3为非基变量； x1、x4、 x5为基变量；