线性代数§53.ppt

例7 设 ，讨论以下问题： 1）当k=1时，是否存在正交矩阵T，使 为对角矩阵，如果存在正交矩阵T，则T是否惟一？ 2）当k=0时，A能否与对角阵相似（说明理由）？ 解：1）当k=1时，A是实对称矩阵，则A一定有三个线性无关的特征向量，从而必可对角化，也必存在正交矩阵T，使 为对角矩阵。不唯一。 2）当k=0时，由 ,A的特征值为 ，又 故A的对应于 特征向量只有一个，故A不能对角化。 例8 设矩阵 1）矩阵B能否相似于对角阵？为什么？ 2）矩阵A能否相似于矩阵B?为什么？若A能相似于B, 求出对应的相似因子。 解：1）B的特征值为1，3，3.又 故B可相似对角化。而对应于特征值3和1的特征向量分别为： 且 2）由 且A为实对称矩阵，所以A必能相似对角化，即存在正交矩阵Q，使 由相似矩阵的传递性知，B与A相似。 矩阵A的对应于1和3的特征向量分别为： 故 所以相似因子为： 例9设A为n阶方阵，满足方程 证明：1） 2）矩阵A能相似对角化，并求出它的相 似对角阵。 证明：1）由 故 的列向量都是方程组 的解向量，从而 的列向量可由 的基础解系线性表示，故 即 又 故 2）设 则 所以 是A的特征值且为全部特征值。 与特征值-1对应的特征子空间的维数为 与特征值3对应的特征子空间的维数为 从而A有n个线性无关的特征向量，故A相似对角阵为： 其中-1有 个 3有 个。 小结 1. 对称矩阵的性质: (1)特征值为实数; 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等; (4)必存在正交矩阵, 将其化为对角矩阵, 且对角矩阵对角元素即为特征值. 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤: (1) 求特征值; (2) 求特征向量; (3)将特征向量正交化; (4) 将特征向量单位化. 思考题 设n阶实对称矩阵A满足A2=A, 且R(A)=r, 求行列式| 2E–A |的值. 思考题解答 由于A是实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, 使得 P-1AP = ? 其中?i ( i = 1, 2, ···, n ) 为A的n个实特征值. ? = P-1AP = P-1A2P 又由A2=A可得, = P-1AP P-1AP = ?2, 即 因此得, ?i = ?i2 ( i = 1, 2, ···, n ), 所以, A的所有特征值只能是0或1. 其中Er是r 阶单位阵. 从而, | 2E–A |= | 2P-1P–P-1AP |= | 2E–? | = 2n-r. 又因R(A) = r , 故存在可逆阵P, 使得 一、复矩阵与复向量 定义2: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 表示aij 的共轭复数, 记　　　 , 称 为A 的共轭矩阵. 定义1：元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵 和复向量 §5.3 实对称矩阵的相似矩阵 由定义和复数的运算性质可知： （3）当A为实对称矩阵时， 运算性质 1、设A, B为复矩阵, ?为复数, 且运算都是可行的, 则: (5) 若A可逆，则 2、设 x 为