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6 培养全数字发展的意义: 低年级的数学教育 沙伦·格里芬(Sharon Griffin) 在１５年的关于儿童理解和全数字（whole numbers）的研究后，我可以很简要的概括我学到了什么。教授数学，你需要知道三件事。你需要知道你在哪（你课堂上的儿童在知识方面可能获得的成长）。你需要知道你想去哪（在知识方面你想要你课堂上的所有儿童取得的成绩）。最后，你需要知道到达目标的最好路径（根据你将提供的学习机会来使你课堂上的所有儿童完成你所规定的目标）。虽然这听起来简单，但这每一点只是大冰山的一角。每当我认为某个问题对有效教学教授的设计非常重要时，我就会增加这个问题（如，我们在哪？）。每个问题同样指着知识（那座冰山）的一部分，教师必须增加这方面的知识来解答问题。在这章，我按顺序在上下文讲解了能帮助儿童更好的学习全数字的每一个问题。、 读者将认识到那三件我认为教师要有效教授数学所需要知道的事，同许多教授知识方面的细节是相似的，教师需要实行那三件事来确定课堂上的人们怎么学习的准则（见第一章）。不要对这个重叠的部分感到惊奇。因为教和学是同一个硬币的两面，因为有效教学在根本上是根据学习内容所决定的，我们不能离开一项只谈另一项。因而当我讲解每一个上文所提到的那三个问题时，我会同时提供给教学前儿童和教初等数学的教师一套方案，他们可以通过使用这套方案在他们的课堂上实行那三个准则来指导人们怎样学习，并且做出以学生为中心、知识为中心、团体为中心和评价为中心的创新性课堂。 在讲解人们怎样学习的三个准则的同时，就可以自然而然地探索每一个问题，因为构成有效数学教学基础的知识结构给我们提供了一套丰富的资源，教师可以利用他们在课堂中实行这些准则。这样，当我研究问题一（我们在哪？）并描述在不同年龄阶段的儿童所建立的数字知识时，我会提供一个工具（关于数字知识的测验）和一套不同年龄儿童思考方式的案例，教师可以利用他们来制定方案１——引出、建立、连接起学生的知识体系——以在课堂上使用。当我研究问题二（我想到哪去？）并描述知识脉络，而这个脉络显现出了它在儿童的数学学习和成绩以及在平时课堂教学中建立脉络的各种方法的影响力时，我会提供一个基准体系，教师可以利用这一体系制定方案２——建立学习路径和知识脉络——以在课堂上使用。最后，当我研究问题３（到达目标的最好路径是什么？）并描述数学教学计划的几个步骤，而这个计划在帮助儿童获得全数字观念上非常有效时，我会提供一套学习工具、设计方案和班级实践活动的实例，教师可以利用他们制定方案３——培养富于想像的、自制的数学家和解题者——以在课堂上使用。因为我提到的问题都是相关的，他们也是基本准则，教授可以解决每个问题的策略，在筹划上，每个方案不只是这章的某个特定部分，而是贯穿了始末。 我选择在这一章的说明中强调那些问题，因为他是一组研究儿童知识和学习的首要方面的动机的问题。通过提问这组问题，每一次我都要坐下来为儿童设计一个数学的教学方案，我可以想到远处，随着时间的流逝，建构更好的答案和更好的课程。如果每一个数学教师可以定期的问这套问题，他们就能建构起他或她自己的答案，充实我们的知识基础，至少在一组孩子身上提高数学的教学质量。这样做，每个教师也会体现出富于想像的、自制的数学教师的本质。问题本身比他们的答案更重要。但倒过来也同样是对的：虽然好问题可以收获好答案，好答案也可以得到更新更好的问题。 我现在求助于那些我找到的对我关于儿童的工作有用的答案。在讲解问题２（我想去哪？）之前，我希望给读者一个大致的辨别方向的能力，在我讲解问题１（我们在哪？）之前我们要朝着那个方向，我会提供一个详细的说明，是关于４到８岁这个年龄段的每个年龄的孩子大体可获得的知识的。当个别儿童在获取数字知识上与其他人有很大差异时，教师有义务将学生按年龄分组再进行教学。所以在做说明计划时把焦点对准某个年龄阶层儿童的典型知识是很有帮助的，有了这层理解，教学过程就会发生相当大的变动。在后面的部分里，我会使用我们所研究出的儿童在典型年龄阶层上的理解程度来回到所要讲解的知识，并且提供更多更具体的关于问题２的答案。 确定要教什么知识 所有的教师都面对着令人头晕目眩的数学概念和解题技巧，他们期望把这些知识教给大群的来到课堂上有着不同的学习水平的学生。甚至在学前的年龄阶层这也是一个事实。对每一个年级，那些将要讲解的知识都是在各种文件中——国家数学教师会议（NCTM）所制定的国家标准，国家和地区的体制，课程指南——规定好了的，他们经常是不一致的。教学生们什么知识或者对于课堂上的儿童采取个性化的教育方式都不是件容易的事情。 许多小学教师改变了这种左右为难的状况，他们选择数字观念（number sense）来作为一种理解，他们想要所有学生都能这样理解。在许多方面这都是非常有意义的。在ＮＣＴＭ的标准中，