孤立奇点的类型及判断方1.doc

孤立奇点的类型及其判定方法 摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用. 关键词: 可去奇点 极点 本质奇点 1.引言 复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便. 2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义 定义1 如果函数在点的某一去心领域（即除去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点. 2.2 孤立奇点的类型和判断 以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如为函数的孤立奇点，则的某去心领域内可以展成洛朗级数=. 我们称非负幂部分为在点的正则部分，而称负幂为 在点的主要部分.实际上非负幂部分表示在点的领域内的解析函数，故函数在点的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上. 定义2如果在点的主要部分为零，则称为的可去奇点； 如果在点的主要部分为有限多项，设为 则称为的阶极点，一阶极点也称为单极点； 如果在点的主要部分为无限多项，则称为的本质奇点； 以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征. 如果为函数可去奇点，则有 上式等号右边表圆内的解析函数.如果命则在圆内与一个解析函数重合，也就是说，我们将在点的值加以适当定义，则点就是的解析点.这就是我们称为的可去奇点的由来. 定理1 如果为函数可去奇点充要条件. 证明 充分性 因为为函数可去奇点，则有 =， 于是， 必要性 则对任给的，有，只要,就有，于是，所以在点的某去心邻域内是以为界的，考虑在点的主要部分 ， 而为全含于内的圆周可以充分小， ， 即知当时，即是说在点的主意部分为，即为的可去奇点.说明是的可去奇点， ， . 如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个阶极点，表示洛朗展开式不是有个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是次数了. 定理2 如果函数以为孤立奇点，则点是函数的阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条. = 1 \* GB3 ① 在点的某一去心领域内能表成=其中在点领域内解析，且； = 2 \* GB3 ② 以点为阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点是函数的阶极点，则在点的某去心邻域内有 ， 其中显然在点的邻域内解析，且 所以在点的某去心邻域内有 ， 其中在点的某邻域内解析，且，因此点位的可去奇点，只要令，就为的阶零点. 必要性 如果以点为阶零点，则在点的某邻域 ， 其中在此邻域内解析，且，所以在此邻域内解析，在此邻域内命 ， 则在点的主要部分就是 所以点是函数的阶极点.在充分性中已经证明条件 = 1 \* GB3 ①可以推导出条件 = 2 \* GB3 ②，所以条件 = 1 \* GB3 ①可以推导出点是函数的阶极点. 定理3 函数的孤立奇点为极点的充要条件是. 证明 函数以点为极点的充要条件是以点为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点为函数的阶零点时，则点为函数的阶极点；若点为函数的阶极点，则点为函数的阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数，不是函数的二阶极点，因为 所以，是函数的一阶极点. 定理4 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是不存在. 这个可以