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函数的周期性判断及考查方向 函数的周期性判断及考查方向 函数的周期性——对周期函数的概念剖析与判断 现行高中数学教材指出：“一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。”又指出：“对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。” 显然，教材运用了属加种差的定义方法对周期函数进行描述，这里的属概念是函数，种差是指与其它函数不同的f(x＋T )＝f(x)这个特殊属性。其语言是凝缩的、内容是丰富的。 ⑴对周期函数的概念剖析： ①T是不为零的常数，故T的值可正可负。如： 函数y＝sinx(x∈R+)仅有正周期2π，4π，…； 函数y＝sinx(x∈R－)仅有负周期-2π，-4π，…； 函数y＝sinx(x∈R)既有正周期又有负周期±2π，±4π，…。 ②x取定义域内的每一个值，不是x取定义域内的某一个、某几个、甚至无穷多个值。如对于有，但是并不是函数的周期。 ③对于定义域内的每一个x的值加非零常数T，有f(x＋T)＝f(x)成立，不是对于定义域内的值加非零常数T，有。 如不是函数的周期，而，其周期为6π。可见函数的周期与自变量x的系数有关，如果对于任意x∈X，恒有成立，则函数f(x) 的周期为T，复合函数f(wx)的周期为T′＝(ω，T均为非零常数)。 ④对于定义域内的每一个x的值加非零常数T，其函数值不变，不是加非零变数其函数值不变。如函数，对于任意一个自变量，再加上同一个变量2n，总有，但变数2n不是该函数的周期，因为函数根本不是周期函数。 ⑤x∈X且x＋T∈X，进而推出x＋nT∈X，由此可知，定义域是至少一端无界的区间为周期函数的必要条件。显然定义域为两端有界区间的函数如就不是周期函数。  ⑥若T为函数的周期，则有。即nT也是该函数的周期。特别地，，如，则。 ⑦周期函数有周期但未必有最小正周期。如著名的狄利克雷函数 1(x∈{有理数}) f(x)＝ 0(x∈{无理数}) 是周期函数，其周期为任意一个非零的有理数，但它没有最小正周期。 ⑧因为，所以任何严格单调函数均不是周期函数。 这里需要指出的是： 周期函数的图像未必是重复出现的； 图像重复出现的函数也未必是周期函数。 如函数，是周期为1的周期函数，但它的图像(如下)并不重复出现。 又如函数y＝x－[x](x∈[-3，3])，虽然其图像重复出现(如下)，但因定义域为闭区间，它并不是周期函数。 这就是说，函数值重复出现与函数图像重复出现不能等同，但有的周期函数其函数值重复出现与图像重复出现又是一致的，如三角函数，是从定义域内的任意一点x0开始，长度为一个周期的区间上的图像将至少向定义域的一端不断重复出现且延续至无穷。对于这样的周期函数，只要研究它的一个周期上图像的性质，便可知晓整个函数图像的变化规律。  ⑵判断函数是周期函数的几个充分条件 ①当x∈R，若f(x)＝f(a－x)且f(x)＝f(b－x)(a≠b)，则f(x)是周期函数。 ∵且， ∴ ∴ 结论：若函数f(x)图像具有两条铅直对称轴及，则f(x)是周期函数。 ②当x∈R，若f(x)＝-f(a－x)且f(x)＝-f(b－x)(a≠b)，则f(x)是周期函数。 ∵且， ∴ ∴ 结论：若函数f(x)图像具有两个对称点及，则f(x)是周期函数。 ③当x∈R，若f(x)＝f(a－x)且f(x)＝-f(b－x)(a≠b)，则f(x)是周期函数。 ∵且， ∴ ∴ f(x)是周期函数，且周期 结论：若函数f(x)图像具有一条对称轴和一个对称点，则f(x)是周期函数。 ④当x∈R，若f(x)＝-f(a＋x)(a≠0)则f(x)是周期函数。 ∵x∈R，且f(x)＝-f(a＋x)(a≠0) ∴f(x)＝-f(a＋x)＝-[-f(a＋(a＋x))]＝f(x＋2a) ∴T＝2a 如f(x)＝sinx， 显然f(x＋π)＝sin(x＋π)＝-sinx＝- f(x)， T＝2π ⑤当x∈R则，则f(x)是周期函数。 ∵ x∈R，且， ∴ ∴ 如， ∴ ∴ ⑥当x∈R，若则f(x)是周期函数。 ∵x∈R，且 ∴ ∴T＝4a 如f(x)＝tanx ∴ ∴， ∴。 ⑦当x∈R，若，则f(x)是周期函数。 ∵x∈R，且， ∴， ∴ ∴ 即 则f(x)为周期函数，其周期为T＝6a  ⑧当x∈R，若，则f(x)是周期函数。 　∵ x∈R，且， ∴， ∴ ∴， 当时， 有 ∴ ∴ 或 即 综上，当f(x)＝0时，f(x)为周期函数，其周期为任一个非零实数