计算方法各章习题及答案.doc

第二章　数值分析2.1　已知多项式通过下列点：-2-10123315111161试构造一多项式通过下列点：　-２-１０１２３３１５１１１１１答案：．2.2　观测得到二次多项式的值：-2-1012３１１６１５表中的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中错误，应有．2.3　利用差分的性质证明．2.4　当用等距节点的分段二次插值多项式在区间近似函数时，使用多少个节点能够保证误差不超过．答案：需要143个插值节点．2.5　设被插值函数，是关于等距节点的分段三次艾尔米特插值多项式，步长．试估计．答案：．第三章　函数逼近3.1 求在空间上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：的二次最佳平方逼近多项式为，二次最佳平方逼近的平方误差为．3.2　确定参数，使得积分取最小值．答案：3.3　求多项式在上的３次最佳一致逼近多项式．　答案：的最佳一致逼近多项式为．3.4　用幂级数缩合方法，求上的３次近似多项式，并估计．答案：，3.5　求上的关于权函数的三次最佳平方逼近多项式，并估计误差和．答案：，，．第四章　数值积分与数值微分4.1　用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示0. 50. 500 0000. 500 0000. 500 0000. 50. 333 3330. 250 0000. 208 3330. 5 0. 333 3330. 250 0000. 200 000精确值0. 50. 333 3330. 250 0000. 200 0004.2 　确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）（２）（３）答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3　设，确定求积公式中的待定参数，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：，，其中．4.4　设是以为插值点的的二次插值多项式，用导出计算积分的数值积分公式，并用台劳展开法证明：．答案：．4.5　给定积分（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过．（２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需，取９个节点，（２）（３）取７个节点处的函数值．4.6　用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分．要求用事后误差估计法时，截断误不超过和．答案：使用复化梯形公式时，满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式，其中余项为　　．（２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式，其中　　　，而　　　　．4.8 用龙贝格方法计算椭圆的周长，使结果具有五位有效数字．答案：．4.9 确定高斯型求积公式的节点，及系数，．答案：，，，．4.10　验证高斯型求积公式的系数及节点分别为．第五章　解线性方程组的直接法5.1 　用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵的逆矩阵，其中．答案： 　5.2　用矩阵的直接三角分解法解方程组答案：　，，，．5.3　用平方根法(Cholesky分解法)求解方程组答案：　　，，．5.4　用追赶法求解三对角方程组答案：，，，．第六章　解线性代数方程组的迭代法６.１　对方程作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量，用该方法求近似解，使．答案：近似解为． ６.２　讨论松弛因子时，用SOR方法求解方程组的收敛性．若收敛，则取迭代求解，使．答案：方程组的近似解为，，．６.３　给定线性方程组，其中，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４　设有方程组，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５　设矩阵非奇异．求证：方程组的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６ 设为对称正定矩阵，对角阵．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组时对任意初始向量都收敛．第七章　非线性方程求根例７.４　对方程确定迭代函数及区间，使对，迭代过程均收敛，并求解．要求．答案：若取，则在中满足收敛性条件，因此迭代法在中有惟一解．取，．取，在上满足收敛性条件，迭代序列在中有惟一解．取， 在上，将原方程改写为，取对数得． 满足收敛性条件，则迭代序列在中有惟一解．取， ．例７.６　对于迭代函数，试讨论：（１）当为何值时，产生的序列收敛于；（２）取何值时收敛最快？（３）取分别计算的不动点，要求．答案：（１）时迭代收敛．（２）时收敛最快．（３）分别取，并取，计算结果如下表７.７所示表７.７11.875 000 00011.