解析几何解题方法集锦.doc

解析几何解题方法集锦 俗话说：“知己知彼，才能百战百胜”，这一策略，同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材，而且还必须研究历年高考试题，从中寻找规律，这样才有可能以不变应万变，才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题，可以发现有这样的规律：小题灵活，大题稳定。 一、解决解析几何问题的几条原则 1．重视“数形结合”的数学思想 2．注重平面几何的知识的应用 3．突出圆锥曲线定义的作用 二、解析几何中的一类重要问题 直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。 弦长问题：|AB|=。 弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。 三、高考解析几何解答题的类型与解决策略 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。 例1 （1994年全国） 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=. 所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x. 例2 (1993年全国) 在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。 分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给M O N xPy定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为 M O N x P y 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 例3 （1994年全国） MNQO已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 M N Q O 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是： P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。 这种方法叫做直接法。 O A xB O A x B C 给出定点A（a,0）(a0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。 分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以 y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0 若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0，则b=0,∠AOB=180o,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤xa)。 当a=1时，方程表示抛物线弧；当0a1时，方程表示椭圆弧；当a1时，方程表示双曲线一支的弧。 一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。 例5 （1995年全国） 已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 则 ，代入 ，得：(x-1)2+(y-1)2=1. 注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| |xP|=|xR2|代替，这样就简单多了。 Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1．有关最值问题 例6 (1990年全国) 设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。 分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。 设椭圆方