三角函数与三角恒等变换判断三角形形状.doc

三角函数与三角恒等变换 判断三角形的形状 　 　 一、选择题（共2小题，每小题5分，满分10分） 1．（5分）已知tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是（　　） 　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 任意三角形 利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）化简整理． 解：∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB） ∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0， ∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角 故应选A． 考查两角和的正切公式以及三角函数的符号，训练运用公式熟练变形的能力． 　 2．（5分）在△ABC中，=，则△ABC是（　　） 　 A． 等腰三角形 B． 直角三角形 　 C． 等腰或直角三角形 D． 等边三角形 考点： 三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： 利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状． 解答： 解：由正弦定理可得= ∵= ∴=，求得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90° ∴三角形为等腰或直角三角形． 故选C 点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决． 　 二、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分） 4．（4分）在△ABC中，a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0，则△ABC是　等边三角形　． 考点： 三角形中的几何计算． 专题： 计算题． 分析： 利用配方法对a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0，化简整理得∴（a2﹣b2）2+（a2﹣c2）2+（b2﹣c2）2=0，进而推断a2=b2，a2=c2，b2=c2，判断三角形三边相等． 解答： 解：∵a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0 ∴a4+b4+c4=a2b2﹣b2c2﹣a2c2∴2（a4+b4+c4）=2（a2b2﹣b2c2﹣a2c2） ∴a4+b4﹣2a22b2+a4+c4﹣2a2c2+b4+c4﹣2b2c2=0 ∴（a2﹣b2）2+（a2﹣c2）2+（b2﹣c2）2=0 ∴a2=b2，a2=c2，b2=c2∴a=b=c 故答案为等边三角形． 点评： 本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是利用配方法对题设进行化简整理． 　 5．（4分）在△ABC中，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC是　等边三角形　． 考点： 两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题． 分析： 由三角函数的有界性知正弦与余弦的取值范围都是[﹣1，1]而此三式的乘积等于1，只能是三式的值都为1，由此可解出结论． 解答： 解：由已知△ABC中，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1， cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1， ∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0 ∴A=B=C 故△ABC是等边三角形， 应填等边三角形． 点评： 本题考查三角函数的定义，有界性，解决本题易犯错误是不加判断直接化简，则难矣． 　 6．（4分）在△ABC中，tanAtanB＞1，则△ABC是　锐角三角形　． 考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题． 分析： 利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形． 解答： 解：因为A和B都为三角形中的内角， 由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0， 且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角， 所以tan（A+B）=＜0， 则A+B∈（，π），即C都为锐角， 所以△ABC是锐角三角形． 故答案为：锐角三角形 点评： 此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．本题的关键是得到tanA和tanB都大于0，进而得到A和B都为锐角． 　 7．（4分）在△ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC是　直角三角形　． 考点： 正弦定理． 专题： 转化思想． 分析： 利用正弦定理化角为边可得a2+b2=c2，从而判定三角形的形状． 解答： 解：∵sinA=，sinB=，sinC=， ∴+=， 即a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为直角三角