2009矩阵分析试题A参考答案及评分标准.doc

重庆邮电大学2009级研究生(矩阵分析)考卷（A卷） 参考答案及评分细则 一 、已知 ，，， 求与的和与交的基和维数。（10分） 解：因为 += (2分) 由于秩=3，且是向量组的一个极大相信无关组，所以和空间的维数是3，基为。 (2分) 设 于是由交空间定义可知 此即 解之得 (2分) 于是 ， 所以交空间的维数为1，基为 (2分) 二、证明：Jordan块 相似于矩阵 ，这里为任意实数。（10分） 证明：由于容易求出两个矩阵的不变因子均为，从而这两个矩阵相似，于是矩阵与相似. 三、求矩阵的 (1)Jordan标准型； （2）变换矩阵P ； （3）计算 。（10分） 解 （1）Jordan标准型为 (3分) 相似变换矩阵为 (3分) 由于，因此，容易计算 (4分) 四、验证矩阵是正规阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵。 (10分) 解: , (2分) ,令 得特征根: (2分) 当时, 解得特征向量为: 当时, 解得特征向量为: 当时, 解得特征向量为: (3分) 显然正交, 将它们分别单位化得: , , 令 得 (3分) 五、已知是矩阵，且 （为自然数），试证：。 （10分） 证明: 因为是矩阵，所以存在酉矩阵使得 , (其中为A的特征根, 且为实数) (3分) 于是 (2分) 从而 (2分) 所以 故 (3分) 六、验证矩阵 为单纯矩阵，并求的谱分解。（10分） 解: 因为 所以得特征要分别为: (3分) 当时, 求得线性无关的特征向量分别为 , (1分) 当时, 求得线性无关的特征向量分别为 (1分) 所以 因此 (3分) 于是的投影矩阵为 故谱分解表达式为 (2分) 七、讨论下列矩阵幂级数的敛散。（10分） 八、设与是实数域上的线性空间的两组基，且 ，又对任意的有 证明：（1）是中的向量范数； （2）当是正交矩阵时，有。（10分） 九、已知矩阵 计算。（10分） 十、以下三题任选一道。 （10分） 1、证明: 在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的矩阵。 证明:由正交投影矩阵的性质知:存在次酉矩阵使得 于是,由知是矩阵 (5分) 又由于当时有 所以是半正定的矩阵 (5分) 2、证明：正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。 证明:设则 (4分) 由正规矩阵的性质知: (4分) 由于,故 (2分) 3、设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为，V的两个子空间分别为 证明：V=W1?W2. 证明:由于，. (3分) 因此，， (2分) 而线性无关， 所以， ， (3分) 又因为，， 所以V=W1?W2. (2分)