【成才之路】2014-2015高中数学人教A版选修2-1：综合素质检测3章[来源：学优高考网427008].doc

第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是(　　) A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量 [答案]　D [解析]　只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确． 2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a∥ b则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90°　　 B．60°　　 C．30°　　 D．0° [答案]　A [解析]　∵|a|2＝2，|b|2＝2， (a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，则λ等于(　　) A．28　　　　　　　 B．－28 C．14 D．－14 [答案]　D [解析]　eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－6，－2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－1,6，λ－3)， ∵eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D． 4．(2013·北师大附中月考)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是 A．a B．b C．c D．a＋b [答案]　C [解析]　因为a＝eq \f(1,4)p＋eq \f(1,4)q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝eq \f(1,2)p－eq \f(1,2)q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝eq \f(3,4)p－eq \f(1,4)q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；故选C． 5．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) [答案]　D [解析]　∵l∥α，∴a·n＝0，经检验知选D． 6．(2013·清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　) A．30° B．60° C．90° D．45° [答案]　B [解析]　由于eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(CD,\s\up6(→))＝(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)))·eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))2＝1． cos〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)?〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，故选B． 7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋meq \o(AB,\s\up6(→))－neq \o(AA1,\s\up6(→))，则m，n的值分别为(　　) A．eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)