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容斥原理 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 例1 某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？ 一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人，订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？ （2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？ 例4 五年级一班共有学生48人，在某次考试中，仅数学得100分的有20人，语文数学都得100分的有9人，语文、数学都没得100分的有8人，那么仅语文得100分的有多少人？ 例5 如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例6 对某单位的员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、戏剧和电影。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的16人，既喜欢看电影又喜欢看球赛的10人，三种都喜欢看的有12人，这个单位有员工多少人？ 结束谢谢观看 * * 葛晓娟 引入： 解决问题 15+12-4=23(人) 语文满分12人 数学满分5人 都满分4人 有性质A和B的元素个数。 B B A∩B (1)两个集合的容斥关系公式： |A∪B |＝|A|＋|B|—|A|∩|B| 有性质A、B、C的元素个数。 B A A∩B (2)三个集合的容斥关系公式： |A∪B∪C| =|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C| +|A∩B∩C| A∩C B∩C C A∩B∩C 47+43-27=63（人） 例2 解：（1）15+10-6=19（人） （2）45-19=26（人） 被5整除的有200个 都整除的有66个 被3整除的有333个 1000÷3=333（个） 1000÷5=200（个） 1000÷（3×5）=66（个） 333+200-66=467（个） 48-8-20-9=11（人） 8×6＋6×6－4×4=68（平方厘米） 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ 50×3－100－10×2=30（平方厘米） 例7 58＋38＋52－18－16－10+12=116（人） 例8 某班有25人，每人至少要订一种杂志。14人订A杂志，12人订B杂志，10人订C杂志，4人既订A杂志又订B杂志，但不订C杂志，2人既订A杂志又订C杂志，但不订B杂志，只有1名学生三种杂志都订。问：有多少学生订B杂志和订C杂志但不订A杂志？ 14＋12＋10－5－3－（X＋1）＋1=25 X=1 解：设有X人订B杂志和C杂志但不订A杂志。 例9 分母是455的最简真分数共有多少个？ 455÷5=91 455÷7=65 455÷13=35 455÷(5×7)=13 455÷(5×13)=7 455÷(7×13)=5 91＋65＋35－13－7－5=166(个) （455－1）－166=288(个) *