实验3插值与数值积分_参考.docx

实验3 插值与数值积分电31 陈征 2003010882【实验目的】1．掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2．掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3．通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。【实验内容】3．用梯形公式和辛普森公式计算由下表数据给出的积分。k1234567xk0.30.50.70.91.11.31.5yk0.38950.65980.91471.16111.39711.62121.8325已知该表数据为函数y=x+sinx/3所产生，将计算值与精确值作比较。解：积分为。程序如下：%原始数据x=[0.3:0.2:1.5];y=[0.3895 0.6598 0.9147 1.1611 1.3971 1.6212 1.8325];z=0.5*(1.5^2-0.3^2)+1/3*(cos(0.3)-cos(1.5)) %精确值z1=trapz(x,y) %梯形公式k=length(y);y1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(y1);y2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(y2);z2=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*0.2/3 %辛普森公式z3=quad(x+sin(x)/3,0.3,1.5) %自适应辛普森公式z1-zz2-zz3-z运行结果如下：z = 1.37486642915263z1 = 1.37298000000000z2 = 1.37426666666667z3 = 1.37486642705501z1-z = -0.00188642915263z2-z = -5.997624859679362e-004z3-z = -2.097625850794316e-009结果分析：显然用梯形公式计算的积分值，其精确程度要小于用辛普森公式算出的积分值，因为梯形公式的代数精度为1，而辛普森公式的代数精度为3。而自适应辛普森公式给出的结果又较前二者更为精确。从中可以看出，插值的方式以及步长的选择都对积分值起到十分重要的作用。8．求的数值积分，使误差在10e-4以内。解：先估计截断部分的值，当时，有，N=3故只需要计算即可。程序如下：z=quad(exp(-x.^2)./x,1,3,1e-4)结果如下：z = 1.0969e-001由于，所以的计算结果与精确值的误差不会超过10e-4。10．下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，求加工端面的面积。x035791112131415Y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6Y201.21.72.02.12.01.81.21.01.6解：程序如下：%初值x0=[0,3:2:11,12:15];Y1=[0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6];Y2=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];%步长x=0:0.1:15;%分段线性插值y1_in=interp1(x0,Y1,x);y2_in=interp1(x0,Y2,x);%三次样条插值y1_sp=spline(x0,Y1,x);y2_sp=spline(x0,Y2,x);[x,y1_in,y1_sp,y2_in,y2_sp]subplot(2,1,1),plot(x,y1_in,x,y2_in,b),title(interp)subplot(2,1,2),plot(x,y1_sp,x,y2_sp,b),title(spline)trapz(x,y1_in)-trapz(x,y2_in) %分段线性插值积分值trapz(x,y1_sp)-trapz(x,y2_sp) %三次样条插值积分值结果如下：所有数据见附表。机翼断面曲线如下，上图是分段线性插值，下图是样条曲线插值。机翼面积：分段线性：S=10.7500；三次样条：S=11.3444。结果分析：由图形可见，三次样条插值出来的曲线要比分段线性插值更光滑，这样面积也就越准确。附表：机翼端面轮廓线数据xY1（线性）Y1（样条）Y2（线性）Y2（样条）0 0 0 0 00.1000 0.0600 0.1089 0.0400 0.04990.2000 0.1200 0.2134 0.0800 0.09900.3000 0.1800 0.3137 0.1200 0.14740.4000 0.2400 0.4097 0.1600 0.19510.5000 0.3000 0.5018 0.2000 0.24210.6000 0.3600 0.5898 0.2400 0.28840