实验五电子波动性的Matlab仿真.doc

实验五 电子波动性的Matlab仿真 一、 实验目的 1. 练习使用基本随机数发生器rand()函数来模拟实际的随机过程。 2. 认识电子的波动性，加深对量子力学基本概念(波粒二象性)的理解。 3. 研究电子波长和缝宽的相对大小对衍射的影响, 比较实物衍射和仿真衍射的异同。 二、实验原理 电子双缝衍射是微观粒子具有波动性的重要证明实验, 开始是作为假想实验而提出的, 1988 年才由Tonomura等人做出了该实验。本次仿真实验依据电子衍射的几率密度函数, 运用蒙特卡罗随机模拟方法, 借助计算机的数据可视化技术、绘图技术, 构建电子双缝衍射的动态随机过程, 清晰地演示出电子衍射的全过程。 1. 电子的德布罗意波长 按照德布罗意的物质波理论，任何粒子都具有粒子性和波动性(即波粒二象性)，与运动粒子（电子）相联系的德布罗意波波长： (1) 其中普朗克常数h =6.63(10-34 (SI)，p和v分别是电子的动量和速度，me=9.1(10-31 (SI)是电子的静止质量。假设电子的速度v是经过加速电压U获得的，加速后的电子动能 (2) 其中电子电荷e =1.6(10-19 (SI)。按照爱因斯坦的相对论，电子的运动质量和动能 (3) 其中真空光速c =3(108(SI)。联立(1)(2)(3)式得到电子的波长公式： (4) 根据(4)式代入电子的加速电压U便可得到电子的波长值，一般在10-10m或者1埃级别。 2. 电子双缝衍射的概率模型 由于电子既是粒子也是波，所以具有波动性，能发生衍射效应，比如双缝衍射。电子双缝衍射的装置示意图如图1所示。衍射屏位于xoy平面, 观测屏位于xoy 平面, 缝S1 和 S2 的宽度均为a, 两缝中心间距为( a+ b) , 衍射屏到观测屏的距离为D。设动量为p、能量为E 的自由电子沿Z轴正方向入射到双缝。入射电子波的波函数为： (5) 根据量子理论，电子经过双缝而在t时刻到达观测屏上P 点的衍射波函数为： (6) 式中，x代表屏上P点的坐标，衍射角( 如图1所示。按照波函数的概率解释，电子在空间某点出现的概率 ( 波函数绝对值平方。所以，电子经过双缝在观测屏上P点出现的概率（实际上是概率密度）： (7) 考虑到D (a+b)，有近似式 (8) (6)(8)式代入(7)式，得到电子在屏上P点出现的概率(密度)： (9) 其中 。 易知(9)式中w0是概率的最大值w(x)max，引入归一化概率(密度，即相对概率) (10) (4)式和(10)式就是本次仿真的理论公式。 3. 随机数据的生成方法 根据上述电子在观测屏上出现的概率(密度)进行随机抽样, 便得到按此概率(密度)函数Pw(x)分布的随机数序列。在蒙特卡罗方法中, 有多种方法可实现按已知分布的随机抽样。根据本文要处理的问题的特点, 采用Von Neumann 的舍选法。舍选法的具体做法是： ( 1) 计算机在一定范围内（观察屏上）随机地选取观测屏上一坐标点( xi, yi) , 并按(10)式计算电子在该点的出现概率Pw(xi)的值。 ( 2) 计算机产生一个0 至1 之间均匀分布的随机数M; ( 3) 将Pw与M 进行比较, 若Pw ≥ M, 则选取该点( xi, yi)（意味着此时电子出现在该点）； 若Pw M, 则舍去该点, 并重复(1)至(3) , 重新选择坐标点。 通过以上方法, 便可以得到一个按Pw(x)分布的随机数序列。这个随机数序列便是我们实现电子衍射随机运动过程的依据。 在(1)(2)步中首先需要生成一个基本的随机数，这个随机数可用rand()函数产生。其用法： rand 或者 rand(m,n,p,…) 作用是产生0-1之间均匀分布的随机数。前者每次仅生成1个随机数，后者生成一个m(n(p…的随机数组。在(1)步中随机坐标点可以如下生成：假定，则命令 x=5e-5*(2*rand-1); 将产生[-5e-5,5e-5]之间均匀分布的随机坐标点x，每个点出现的概率是相等的。y坐标的生成方法类似。在(2)步中使用rand函数重新生成均匀分布的随机数M，该数作为衍射电子随机出现在屏上某点( xi, yi)的概率的评价(取舍)标准。若Pw ≥ M,说明电子此次将出现在该点，否则就不出现。当电子某次出现在点( xi, yi)时，则在该点画一个一定大小的点代表电子（电子的可视化显示）： plot(xi,yi,.r,markersize,10); % 画一个10像素的红色点 三、实验内容 1.观察逐个电子的双缝衍射过程