概率的公理化定义.ppt

排列：从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排，不同的 排法共有 全排列： 可重复排列 ：从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有 种。 种。 不尽相异元素的全排列 ： n 个元素中有 m 类， 第 i 类中有 个相同的元素， 将这 n 个元素按一定的次序排成一排， 种。 不同的排法共有 ，不同的分法共有 多组组合：把 n 个元素分成 m 个不同的组 ，各组分别有 个元素， 组合：从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有 种。 种。 2 事件的概率 历史上概率的三次定义 ③公理化定义 ②统计定义 ①古典定义 概率的最初定义 基于频率的定义 1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出 一、概率的统计定义（1） 频率：对于一个随机事件A，在n次随机试验中，记事件A发生的次数为m，则称m为事件A发生的频数，称 fn=m/n 为事件A发生的频率。 一、概率的统计定义（2） 频率稳定性的实例 投掷一枚硬币，观察正面向上出现的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005 蒲丰( Buffon )投币 皮尔森( Pearson ) 投币 一、概率的统计定义（3） 后面章节会指出:当试验次数较大时： 事件发生 的概率 事件发生 的频率 一、概率的统计定义（4） 概率的统计定义：在相同条件下进行随机试验，当试验次数n逐渐增大时，事件A发生的频率m/n如果总稳定地在一个确定的数值p附近摆动，则称p为事件A发生的概率，记为P(A)，即P(A)=p。 此种定义的优点：直观易懂 此种定义的缺点：粗糙、不便使用 二、概率的古典定义（1） 古典概型：如果一个随机试验E满足下面2个条件，则称E为古典概型： 随机试验的所有可能结果只有有限的n个，且每次试验中这n个结果中有且只有一个发生； 每个结果等可能发生，可能性是1/n. 二、概率的古典定义（2） 古典概型中概率的计算： 二、概率的古典定义（3） 例：有100件产品，其中5件是次品，其余是正品，（1）从产品中任取1件检验，求恰为正品的概率；（2）任意抽检3件，求3件全是正品的概率；（3）任意抽检3件，求恰有2件次品的概率。 解：（这是古典概型） (1) 基本事件总数n=100， 事件A={抽检一件恰为正品} ， 则A中包含的基本事件数m= =95， 则P(A)=m/n=95/100=0.95。 排列组合复习 二、概率的古典定义（4） 事件B = {抽检的3件全是正品}， 事件C={抽检的3件恰有两件次品} 二、概率的古典定义（5） 例：设有k个不同的球，每个球等可能地落入N（k ≤ N）个盒子中，设每个盒子容球数无限，求每个盒子中至多有1个球的概率。 解： 二、概率的古典定义（6） 上例的“分球模型”可应用于很多类似场合 “球”可视为 人 “盒子” 相应 视为 房子 信封 信 钥匙 门锁 女舞伴 生日 人 男舞伴 三、几何概型（1）（古典概型的推广） 例：某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率。 9点 10点 10分钟 三、几何概型（2） 几何概型：设样本空间为有限区域 ?, 若样本点落入 ? 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为： 三、几何概型（3） 例： 李、王两位朋友约定在下午6点到7点在 某地相会，两人在电话中商定，李在约定地点 等王20分钟，王在约定地点等李10分钟，求两 人能会见的概率。 解：设李到达约定地点是6点过x分钟， 王到达约定地点是6点过y分钟， 三、几何概型（4） x y 60 60 y = x y = x + 20 y = x - 10 三、几何概型（5） 四、概率的公理化定义（1） 概率的公理化定义：设 ? 是随机试验E 的样 本空间，若能找到一个对应法则，将E 的每一事 件 A 对应到一个实数P ( A )，且这种对应满足下 面的三条公理： 则称P ( A )为A的概率。 非负性： 归一性：