D5_4物理应用反常积分.pptVIP

* 比重现在不用了 过去对比重的定义有两种: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 目录 上页 下页 返回 结束 复 习 一、定积分的分部积分法 定理. 则 P285. 3(2) P285. 2(6) 复 习 第一步 选取积分变量 x，确定x的变化区间[a, b]； 微分表达式 第二步 在区间[a, b]上，任取小区间[x, x+dx]，求出 元素法 (或微元分析法 )的步骤： 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 整体量U在此小区间上的近似值 第二节 第三步 积分微元得整体量 1、平面图形的面积 直角坐标情形： 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 2、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题（略） 定积分在物理学上的应用 第六章 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ? a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 例1. 体, 求移动过程中气体压力所 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例2. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为 ? 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 小窄条上各点的压强 例3. ? 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 二、无界函数的反常积分 第六节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 例1. 计算反常积分 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例2. 证明反常积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 例3. 计算反常积分 解: 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 则定义 则称此极限为函 记作 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的 无界点常称为瑕点. 邻域内无界 , 例如, 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 注意: 若瑕点 计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可