推理与证明题型归纳.doc

《推理与证明》题型归纳 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型。 因此，我们必须学好它。如何学好？首要任务是熟练掌握本章的典型题目。下面将本章题型归纳如下： 题型一　归纳推理发现一般性结论① ； ②． 分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。 解：一般规律的等式：若，。 证明如下：由，得， 即， 所以 即。 思维启迪：具有共同特征的几个式子得出一个通式，是归纳推理的常见满足+，若，则 解：因为+，，所以，，，……，由此归纳出： ，所以 。 思维启迪：本题条件+换为·，解题思路是一致的，属于“循环型”（周期性）。 例3 （2012届南通学科基地）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如：…，则第行第3个数字是 。 解：，， 所以 即第三个数： 思维启迪：设第行的第2个数，第行的第2个数，通过对三角形规律的研究得出答案中的两个式子即可求解，本题属于“递推型”。 题型二　类比推理拓展新知识类比推理又称类比法,它是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其它属性也相同的推理。简单地说,类比推理是由特殊到特殊的推理平面空间”等等。 例4 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列。类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列 。 解： 思维启迪：=，等差数列和等比数列相类比，则 == 例5 已知命题：平面直角坐标系中，顶点和C，顶点B在椭圆上，椭圆的离心率是，则 。试将该命题类比到双曲线中，可得到一个命题： 解：如图,由正弦定理得,,, 所以 = 由椭圆的定义类比到双曲线的定义可得： 平面直角坐标系中，顶点 和C，顶点B在双曲线上，双曲线的离心率是，则| 。 思维启迪：本题由椭圆的性质类比双曲线的性质。 例6 若?ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则?ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积V＝ ?ABC内切圆半径为r四面体内切球半径为R三边长四个面的面积R(S1＋S2＋S3＋S4)，而棱锥体积则都包含。因此最后的结果是R(S1＋S2＋S3＋S4)题型三　 “三段论”进行演绎推理例7 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。 （1）证明//平面； （2）设，证明平面。 解：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM。 ABCD中， ，又， 则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。 平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中， 且。 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO。，所以EO⊥平面CDF。 思维启迪：演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。 题型　，…，是从，， 这三个数取值的数列，若…+ ，…+，则，…，中有 个1 解：…+（+…）+2(…+)+50=102 。因为…+，所以 +…=40，所以50个数中有40个从中取，另外10个0，由 …+可得23个1，17个 。故本题答案：23个1 思维启迪：本题的表象是代数求解问题，实质是推理。寻找本题的解题思路，我们采用分析法，当我们将…+展开，得到+…=40，很容易想到只有，40个，另10个是0，让我们有一种“柳暗花明”的感觉，这其实就是分析法的妙处。写解题过程时，我们通常采用综合法，由已知条件出发，推出结论。 题型运用反证法证明a,b,c均为实数，且，，证明：a,b,c中至少有一个大于0 证明：假设a,b,c中全不小于0，即 这与矛盾。 所以假设不成立，原命题正确。 思维启迪：对难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，宜选用反证法。 题型　用数学归纳法证明有关的等式，用数学归纳法证明整除性问题。 例10 用数学归纳法证明等式: （） 证明:(1)当时,左==右,等式成立。 (2)假设当)时,