数值分析实验作业,gauss消去法的数值稳定性分析.doc

实验3.1 Gauss 消去法的数值稳定性试验 实验目的: 观察和理解Gauss消元过程中出现小主元(即很小)时引起的方程组解的数值不稳定性。 实验内容： 求解方程组，其中 （1），； （2）,. 实验要求： 计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的。 用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量. 用不选主元的Gauss消去法求得和及解向量. 观察小主元并分析其对计算结果的影响. 程序如下:计算矩阵条件数及Gauss列主元消去法: format longeng A1=[0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; b1=[59.17;46.78;1;2]; n=4; k2=cond(A1) %k2为矩阵的条件数； for k=1:n-1 a=max(abs(A1(k:n,k))); [p,k]=find(A1==a); B=A1(k,:);c=b1(k); A1(k,:)=A1(p,:);b1(k)=b1(p); A1(p,:)=B;b1(p)=c; if A1(k,k)~=0 A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k); A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n); else break end end L1=tril(A1,0); for i=1:n L1(i,i)=1; end L=L1 U=triu(A1,0) for j=1:n-1 b1(j)=b1(j)/L(j,j); b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L(j+1:n,j); end b1(n)=b1(n)/L(n,n); for j=n:-1:2 b1(j)=b1(j)/U(j,j); b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j); end b1(1)=b1(1)/U(1,1); x1=b1 运行结果如下： K2=68.43； =[18.9882;3.3378;-34.747;-33.9865] 不选主元的Gauss消去法程序： clear format longeng A1=[0.3e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; b1=[59.17;46.78;1;2]; n=4; for k=1:n-1 A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k); A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n); end L1=tril(A1,0); for i=1:n L1(i,i)=1; end L=L1 U=triu(A1,0) for j=1:n-1 b1(j)=b1(j)/L(j,j); b1(j+1:n)=b1(j+1:n)-b1(j)*L(j+1:n,j); end b1(n)=b1(n)/L(n,n); for j=n:-1:2 b1(j)=b1(j)/U(j,j); b1(1:j-1)=b1(1:j-1)-b1(j)*U(1:j-1,j); end b1(1)=b1(1)/U(1,1); x1=b1 程序运行结果如下： 同理可得对应的系数矩阵条件数及Gauss列主元消去法求解结果： K2=8.994; 不选主元的Gauss消去法结果： 实验4.5 三次样条插值函数的收敛性 问题提出： 多项式插值不一定收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。对三次样条插值函数又如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，也超过了本课程的内容。通过本实验可以验证这一理论结果. 实验内容： 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验4.4中的函数或者选择其他感兴趣的函数，可用Matlab的函数“spline”作此函数的三次样条插值函数。 实验要求： 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三次样条差值函数的误差变化情况。分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较。 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业迎合用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条差值函数设计车门曲线，其中一段的数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 0.8 0.2