数学中的归纳与类比.docx

数学教学中的归纳与类比摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。关键词 教学 归纳 类比学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “ 甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。” 而开普列是说到“ 我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。” 欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。1、归纳所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全) —— 猜想—— 完全归纳(数学归纳法证明) 。数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。1.1 枚举归纳枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法. 枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量, 因此它所得到的结论可靠性较低, 一旦遇到一个反例, 结论就会被推翻. 但是枚举归纳法仍有一定的作用, 通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说.例1 观察图1中每一个大三角形中白色三角形的排列规律, 则第5个大三角形中白色三角形有121个. 图1分析 设第n个大三角形中白色三角形有an 个.第1个里面蕴含1个白色三角形(即a1 = 1);第2个里面蕴含4个白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 );第3个里面蕴含13 个白色三角形(即a3 = 1 +3a2 );…通过前三个里面蕴含的规律, 可以发现第n 个大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1个. 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。例2 如图2所示, 已知点A ( 0, 0), B ( 3, 0), C ( 0, 1), 在△ABC 内依次作等边三角形, 使一边在BC 边上, 作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B1, 第2个△B1A2B2, 第3个△B2A3B3,…则第n个等边三角形的边长等于 图2分析 显然要求第n 个等边三角形的边长, 需要求出第1个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长,…, 从中发现规律△ABC在平面直角坐标系下,显然OB = , 通过计算可得出OB1 =, B1B2 =,…,Bn-1Bn =1.2 类比归纳类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比, 做出归纳判断的一种科学研究方法. 在中考数学中考查类比归纳法, 引导学生通过对知识的类比和归纳, 把知识由点连成线, 由线织成网, 使知识有序化、系统化, 从而使学生掌握知识内在的规律.例3 如图3是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒, a, b是某行的前两个数,当a= 7时, b= . 图3分析 一看到此题, 学生应该头脑中马上映现出杨辉三角的基本数表结构对比杨辉三角形的性质通过观察、类比、归纳三角形数垒的特征, 当a= 6, 邻近的数字是16, 那么当a =7, 邻近的数字是22.1.3 实验归纳实验归纳是直接从观察实验结果中分析、归纳、概括而总结出规律的方法. 在中考试题中, 需要学生动手操作, 通过实验, 依托直觉, 对实验的结果进行大胆猜想, 形成解决问题的初步方案; 然后根据猜想, 继续实验, 通过实验来验证方案, 从而解决问题.例4 已知等边三角形纸片ABC 的边长为8, D为AB 边上的点, 过点D作DG∥BC 交AC于点G. DE⊥BC于点E, 过点G 作GF⊥BC于点F, 把三角形纸片ABC分别沿DG, DE, GF 按图4所示方式折叠,点A,B,C分别落在点A’,B’,C’处. 若A’,B’,C’在矩形DEFG内或其边上, 且互不重合, 此时我们称△A’B’C’(即图中阴影部分)为“重叠三角形”. ( 1) 若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网