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概率论综述 第一章 事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性 一.随机现象 概率论（probability theory）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。 另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。 二.频率稳定性 对于随机事件A,若在N次实验中出现了n次，则称 为随机事件A在N次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。 对于一个随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A的概率（probability）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。 三.频率与概率 首先，概率具有非负性 其次，对于必然发生的事件，在N此试验中应出现N次。若以记必然事件，则应有 还有，若A及B是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B表示A或B至少出现其一这一事件，则应有 这个性质称之为频率的可加性 四.概率论简史 概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，诞生于1654年，20世纪是概率论复兴和大发展的世纪。古老的统计学在20世纪初期由于引入概率思想，发展成为数理统计学，二者联手，在强大的计算机的能力的支持下，已成为最有力的定量分析手段，在近代物理、无限电与自动控制、网络通信、质量管理、生物工程、医药和农业试验、金融保险业等方面都有重要的作用。 §2样本空间与实验 一.样本空间 试验可能出现的结果成为样本点（sample point），一般用表示，样本点全体构成样本空间（sample space），用表示。 二.事件 我们把事件定义为样本点的某个集合，称某事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。 三.事件的运算 我们先来讨论两个事件A与B之间的关系。 若A中的每个样本点都包含在B中，则记，并称A被包含于B，这是事件A发生必然导致事件B的发生。 若同时成立，则称A与B等价，记为A=B。 对于事件A，由所有不包含在A中的样本点所组成的事件称为A的逆事件，或对立事件。 若AB=φ,则称A与B不能同时发生，称A与B互不相容。 事件运算成立如下德摩根定理，亦称对偶原理： ， 事件的运算成立以下关系式： 交换律： 结合律：， 分配率：， 。 四.有限样本空间 只有有限个样本点的样本空间称为有限样本空间。 若是有限样本空间，其样本点为，则有 定义1.2.1 任何事件A的概率P(A)是A中个样本点的概率之和。 按照此定义，显然有P()=1,. 包含可列个样本点的样本空间称为离散样本空间。 §3.古典概型 一.模型与计算公式 一般随机现象具有下列两个特征： 在试验中它的全部可能只有限个，且这些事件是两两互不相容的。 事件的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都是一样。 一般把这类随机现象的数学模型称之为古典模型。 二.基本的组合分析公式 1.乘法原理和加法原理； 2.排列 3.组合 4.关于二项系数的一些公式。 三.概率论直接计算的例子 四.抽签与顺序无关 从书中的例子我们可以知道，在计算样本总数及有利场合数时，必须对同一个确定的样本空间考虑，因此其中一个考虑顺序，另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确。 五.二项分布与超几何分布 [有放回抽样场合] 把a+b件产品进行编号，有放回抽n次，把可能得重复排列全体作为样本点，总数为，其中有利场合（即次品正好出现k次）的数目是，故所求的概率为 是二项式展开式的一般项，上述概率称为二项式分布. [不放回抽样场合] 从a+b件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点总数为，有