第8章实验七样条插值插值.doc

第8章 实验七样条函数插值 实验目的：明确三次样条插值的概念、公式及优越性，对不同的边界条件会使用该公式。 8.1 三次样条插值定义 设有个点，其中。如果存在n个三次多项式，系数为 ，满足如下性质： （1）， 且。 （2）， （3）， （4）， （5）， 则称函数为三次样条函数。 性质（1）描述了由分段三次多项式构成的。性质（2）描述了对给定数据点集的分段三次插值。性质（3）和性质（4）是保证分段三次多项式函数是一个光滑连续函数。性质（5）保证了函数的二阶导数也是连续的。 8.2 三次样条的存在性 每个三次多项式有4个未知常数（），因此需要求解4n个系数。由数据点提供了n+1个条件，性质（3）、（4）和（5）各提供了n-1个条件，总共确定了n+1+3(n-1)=4n-2个条件。另外两个由两个端点约束来确定，端点的约束标准策略如表8-1所示。 表8-1 针对三次样条的端点约束 策 略 描 述 包含的方程 ①压紧三次样条，确定 （如果导数已知，这是“最佳选择”） ②Natural三次样条（一个“松弛曲线”） ③外推到端点 ④是靠近端点的常量 ⑤在每个端点出确定 由于是分段三次多项式，它的二阶导数在区间内是分段线性的，再由线性拉格朗日插值，可表示为： （81） 用可得： （8.2） 其中。将式（8.2）积分两次，会引入两个积分常数，得到如下形式： （8.3） 将代入式（8.3）中，并使用值可分别得到包含的方程： 求解这两个方程可容易得出，将这些值代入式（8.3）中，可得到如下的三次多项式方程： （8.4） 需要注意（8.4）可以简化为只包含未知系数的形式。 （8.5） 其中。 8.3 构造三次样条函数 设采用表6-1中的（ⅴ），如果给定，则可以计算出，而且式（8.5）的第一个方程（时）为： （8.6） 同理，如果给出，则可计算出，而且式（8.5）的最后一个方程（时）为： （8.7） 式（8.6）和式（8.7）结合式（8.5），可形成包含系数的n-1阶的线性方程组。 如果不管在表8-1中选择的特定策略，可重写（8.5）中的方程1到方程n-1，得到一个包含的三对角线性方程组，表示为： （7.8） 式（8.8）中的线性方程组具有严格对角占优，并有唯一解。当到系数后，可利用如下公式计算的样条系数： （8.9） 8.4 求三次样条函数举例 例8.1求压紧三次样条曲线，经过点(0,0),(1,0.5),(2,2.0),(3,1.5)，而且一阶导数的边界条件为 解：首先计算下面的值： 有边界条件得到如下方程组： 化简并表示成矩阵形式，可得到： 现将它们代入表8-1的①中的方程组，求解系数： 压紧三次样条的源代码如清单8.1，图形为图8.1。 图8.1压紧三次样条曲线 清单8.1 程序（压紧三次样条曲线）根据n+1个点，构造并计算压紧三次样条插值 function S=csfit(X,Y,dx0,dxn) N=length(X)-1; H=diff(X); D=diff(Y)./H; A=H(2:N-1); B=2*(H(1:N-1)+H(2:N)); C=H(2:N); U=6*diff(D); B(1)=B(1)-H(1)/2; U(1)=U(1)-3*(D(1)); B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2; U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N)); for k=2:N-1 temp=A(k-1)/B(k-1); B(k)=B(k)-temp*C(k-1); U(k)=U(k)-temp*U(k-1); end M(N)=U(N-1)/B(N-1); for k=N-2:-1:1 M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k); end M(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2; M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M