世纪金榜二轮专题辅导与练习专题三第三讲.pptVIP

热点考向 2 三角形形状的判定 【典例2】(1)(2013·陕西高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为________ 三角形.(填锐角、直角或钝角) (2)(2013·玉溪模拟)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A， B，C的对边，如果(a2+b2)sin(A－B)=(a2－b2)sin(A+B), 则△ABC为_______三角形.(填等边、直角、等腰、等腰或直角) 【解题探究】 (1)本题中bcos C+ccos B=asin A，把边化为角可变为 _______________________________,在△ABC中sin(B+C) =______. (2)题目中所给等式展开后利用两角和与差的正弦公式化简可 得___________________________.(*) sin Bcos C+sin Ccos B=sin2 A sin A 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 思路一：把(*)式化边为角可得 __________________________________，然后找出角之间的关 系求解. 思路二：把(*)式化角为边可得 _______________________, 然后找出边之间的关系求解. sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 【解析】(1)因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 答案：直角 (2)方法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)·sin(A+B), 得a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)], 所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB. 因为0Aπ,0Bπ,所以sin2A=sin2B, 所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝ 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二：同方法一可得2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A， 由正、余弦定理得 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. 所以a＝b或c2＝a2＋b2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案：等腰或直角 【方法总结】确定三角形的形状主要的途径及方法 (4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论 (3)通过三角变换找出角之间的关系 (2)通过余弦定理实现边角互化 (1)通过正弦定理实现边角互化 主 要 方 法 途径二:化角为边 途径一:化边为角 【变式训练】已知△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且acsin A＜ 则△ABC为____角三角形(填锐、钝或直). 【解析】因为acsin A 又 =accos B， 所以acsin Aaccos B， 所以sin A＜cos B， 得 ＜cos B， 由y=cos x在(0，π)上为减函数得 即 所以 所以角C为钝角.所以△ABC为钝角三角形. 答案：钝 热点考向 3 解三角形应用举例 【典例3】(2013·沈阳模拟)如图，渔 船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以 10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北 方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿 北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 小时追上. (1)求渔船甲的速度. (2)求sin α的值. 【解题探究】 (1)本题中要求渔船甲的速度，先利用余弦定理求出_________. (2)本题中α=______.在△ABC中，利用正弦定理可得sin α= . BC的长度 ∠BCA 【解析】(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12， AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC＝28.所以渔船甲的速度为14海里/时. (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28， ∠BCA＝α， 由正弦定理，得 即sin α＝ 所以sin α的值为 【方法总结】应用解