二轴向拉伸与压缩.pptVIP

静不定问题 静不定次数：在静不定结构中，未知力（杆的内力或约束反力）的个数多于平衡方程的数目，两者的差值称为静不定次数。 多余约束：对于结构的平衡来说，某些杆件或约束是多余的，称之为多余约束；相应于多余约束的未知力称为多余约束反力。 注：多余约束的个数等于静不定次数 二、静不定问题的解法 静不定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的变形应该是统一的，协调的。 由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协 调条件。 （建立补充方程） 找出变形协调条件、建立补充方程是解决静不定 问题的关键。 求解步骤： 判定静不定次数 列静力学平衡方程（画出受力图） 列变形协调条件（画出位移变形图） 列物理条件（力与变形的关系，即胡克定律） 建立补充方程 将平衡方程与补充方程联立，求解未知量（未知反力或内力） 例 A 图示结构中三杆抗拉刚度均为 EA，在外载荷 F 作用下求三杆轴力？ A B C D 1 2 3 解： 1、列静力平衡方程 取节点A为研究对象，各杆对A的作用力用各自的内力代替。 可得： （1） （2） A B C D 1 2 3 2、建立变形协调条件 由变形几何关系可得： 3、列物理关系 4、建立补充方程 （3） （4） （5） 将（4）式代入（3）式，可得： 5、求解 联立平衡方程（1）、（2）和补充方程（5），解得： 例 图示桁架为几次静不定结构？静力平衡方程和变形协调方程是什么？ A B C D 1 2 3 A B D 1 2 3 A 图示的杆件由两部分组成，在分界处受到 P 的作用。求A、B处的约束反力。 l1 l2 E1A1 E2A2 P A B C FA FB 解： 这个问题属一次静不定。 静力平衡方程: （1） 变形协调条件: 即 由胡克定律: 其中 建立补充方程: （2） 例 将方程（1）、（2）联立求解，得： 应如何求解？ 若： E1A1 E2A2 δ l1 l2 P A B C 小结：静不定结构是综合运用了几何、物理、静力学三方面的条件来求解的。 首先，列出静力平衡方程，判断静不定次数， 以确定需要建立的补充方程的个数； 其次，根据变形协调条件建立变形几何方程； 再次，利用内力和变形之间的物理关系，即胡 克定律，代入几何方程得到包含各杆内 力的补充方程。 最后，联立求解静力平衡方程和补充方程，即 可求出未知量。 图示结构中，杆AB为刚性杆，设 分别表示杆1和杆2 的伸长， 表示杆3的缩短，则变形协调条件为： 练习 图示结构在节点C受集中载荷F作用，已知各杆各截面的 拉压刚度均为EA，杆1与杆2的长度均为 L。试求各杆的轴力。 练习 F A α 一、温度应力 §2.7 温度应力和装配应力 温度变化引起物体的膨胀或收缩。 静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力。 变形量： 材料的线胀系数 静不定结构受到多余约束的作用，往往会引起构件的内力，亦即引起构件内的应力，这种应力称为热应力或温度应力。 例 已知钢管长为 l ，抗压刚度为 EA，线胀系数为 ，求当温度升高 时，钢管内部的温度应力为多少？ FA FB 解： 1、平衡方程 2、几何方程（变形协调条件） 3、物理方程 4、补充方程 5、温度应力为： 二、装配应力 上题若无温度变化，而是杆制造存在误差，长了 ，求装配应力。 解： 1、平衡方程 2、几何方程 3、补充方程 4、装配应力为： 由于构件加工尺寸的误差，在安装时结构内产生的应力，称为装配应力。装配应力问题属于静不定问题。 FA FB 装配应力问题求与温度应力求解相似： —— 温度应力问题的变形协调条件 —— 装配应力问题的变形协调条件 1. 建立平衡方程 2. 建立变形协调方程 3. 建立物理方程 —— Hooke 定律 已知：钢螺栓穿过一铜管子，其初始状态如图所示，螺栓螺距为3mm, 螺栓内径d1=20mm,外径 d2=25mm,铜管内径d3=25mm,外径d4=45mm， E钢=200GPa, E铜=100GPa, l=0.75m 求：当螺母旋紧1/4转时，在螺栓和铜管内产生的应力。 l 解： （1）画受力图，列平衡方程。 （2）几何分析，变形协调条件。 （3）物理分析 N1 N1 N2 N2 * 例 * l （1）画受力图，列平衡方程。 （2）几何分析，变形协调条件。 （3）物理分析 N1 N1 N2 N2 （4）将物理关系代入变形协调条件。 （5）由方程（1）和（2）联立解得： （6）计算应力 解