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其中 上式所示之賈可比矩陣 J(i)，其元素均以偏微分表示。由此可知，牛頓-拉弗森法與高斯-賽迪法，極為相似，唯矩陣 D 改以賈可比矩陣 J(i) 表示。 P. 287 （6.3.10） 6.3 以疊代方式求解非線性代數方程式：牛頓- 拉弗森法 例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 已知 x(0)＝1，試用 (a) 與 (b) 兩種方法求解方程式 f(x)＝y，其中 y＝9 且 f(x)＝x2，並比較此兩種方法之差異。（a）牛頓-拉弗森法 （b）高斯-賽迪法 (本題假設 D＝3 且必須持續疊代，直至 (6.2.2) 式滿足 ?＝10－4 時，方可停止)。 P. 287 例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答a) 已知 f(x)＝x2，則由 (6.3.10) 式可得賈可比矩陣 J(i) 為： 將 J(i) 代入 (6.3.9) 式，即： P. 287 例題 6.6 應用牛頓-拉弗森法求解多項式 (解答a) 已知 x(0)＝1，則牛頓-拉弗森法之疊代求解過程如下表所示： 牛頓-拉弗森法（表） P. 287-288 6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法 應用高斯消去法與反向代入法之求解，其運算時間可透過計算所需算術運算子之個數予以評估。 在利用高斯消去法作運算時，需執行 (N3－N) /3 次乘法、(N)(N－1) /2 次除法與 (N3－N) /3 次減法。 執行反向代入法時，則需執行 (N)(N－1) /2 次乘法、N 次除法與 (N)(N－1) /2 次減法。 因此，當 N 趨近於無窮大時，若使用高斯消去法或反向代入法求解 (6.1.1) 式時，其運算時間大約為執行 N3/3 次乘法及 N3/3 次減法共需花費的時間。 P. 280 6.1 直接法求解線性代數方程式：高斯消去法 例如某台電腦執行乘或除法耗費 2×10－9 秒，執行加或減法所需時間為 1×10－9 秒。若用來求解 N＝10,000 之方程式組，則運算時間約為： 再加上若干指標及迴圈的執行時間。 P. 280 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 一般而言，利用疊代法求解 (6.1.1) 式之步驟如下所述。 首先，假定初始向量 x(0)，接著將變數向量 x 表示為： 其中，x(i) 為第 i 個假設值；g 代表 N 維之函數向量。 P. 280 （6.2.1） 疊代求解的動作必須持續進行，直至符合下列條件方可停止： 其中，xk(i) 為 x(i) 之第 k 個元素成分；? 為預設的誤差容忍值。 P. 280 （6.2.2） 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 在此疊代過程中，尚需考慮下列相關的問題： 疊代過程是否會收斂至唯一解？ 收斂速度多快？（或疊代的次數為何？） 執行疊代運算時，電腦記憶儲存容量及運算時間為若干？ 上述這些問題將經由兩種疊代方法予以討論，即賈可比法（Jacobi）與高斯-賽迪法（Gauss-Seidel）。 P. 281 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 首先我們介紹賈可比法，其求解過程如下，茲考慮(6.1.1) 式第 k 條方程式： 若求解上式，變數 xk 則可表示如下： P. 281 （6.2.3） （6.2.4） 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 賈可比法即是將第 i 次疊代之 x(i) 值代入 (6.2.4)式之右側，因而疊代計算新的 xk(i+1) 值，亦即： 而上式之賈可比法，亦可簡寫為如下之矩陣形式： P. 281 （6.2.5） （6.2.6） 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 其中， 注意：在賈可比法中之 D 矩陣係由 A 矩陣之對角線元素組合而成。 P. 281 （6.2.7） （6.2.8） 且 6.2 疊代法求解線性代數方程式：賈可比法與 高斯-賽迪法 例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式 已知 x1(0)＝x2(0)＝0，試用賈可比法求解例題 6.1，其中疊代運算需持續進行，直至 (6.2.2) 式滿足 ?＝10－4 時，運算方可停止。 P. 282 例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數 方程式 (解答) 由 (6.2.5) 式且當 N＝2 時，可知： P. 282 例題 6.3 賈可比法：以疊代方法求解線性代數