电路中极值问题.docVIP

电路中极值问题 电路极值问题以其运算量大，辨析性强，种类繁多而往往受到学生们的“敬而远之”。既然这是电路学习中的一个难点，我们就应该知难而进，克服它。解决这类问题的先决条件是清晰的思路，必须理清题目的脉络。我翻阅了一些参考资料，又加入自己的体会，得出了解题一般思路。 先要判断：变阻器阻值从最小变到最大的过程 中，相应的电压，电流的功率是否是单调变化（递增或递减）还是非单调变化，非单调变化就有极值（极大或极小）。在解题时，头脑里一定要呈数学函数图象，判断该图象的类型，性质等等； 当变阻器接成标准分压电路时，一般都要考虑极值； 根据闭合电路欧姆定律立出方程式，注意变阻器的阻值总是正值，求极值的方法多种多样，下面介绍大家几种： 用配方法求极值 简单的二次函数可以通过配方来求得极值。如y=(x+a)2可以写作 y = (x-a)2+4ax当x =a2时，有最小值Ymin=4a（注意看清x的定义域，能否取到x=a的情况。若不能， 则可以根据函数的单调区间来判别） 例1某回路中电动势ε，电源内阻r，问外电路总电阻R为何值时，电源有最大输出功率。 解：P=IV= Rε2 （R+r）2 P= ε2 (R-r)2 R +4r 可见，当R=r时，电源有最大输出功率 P出 函数图象为 P出max R 结论：本题是基本结论，需牢记 注意：本题若在串联一个滑动变阻器，且问电源的最大输出功率时，结论也是当R滑=R+r时，P有最大值，因为这时，可把外定值电阻看成内电阻，串到电源中去，从而形成与例1相同，但问到定值 电阻功率的极限值时，就不能把滑动变阻器串联到内阻中，得出R =R滑+r 的错误结论,因为滑动变阻器是变值电阻，那如何来求呢？ 例2下图所示电路中，电池的电动势ε=5V，内电阻?r=10Ω，固定电阻R=90Ω，Ro是可变电阻，在Ro从零增加到400Ω的过程中，求 可变电阻Ro上消耗热 功率最大的条件和最 大的热功率 电池的内电阻r和固 定电阻R上消耗的最 少热功率之和 解：（1）可变电阻Ro上消耗的热功率 P1=Z2Ro= ε 2Ro= 25 Ro+R+r (Ro+90+10)2 = 25Ro = 25 (Ro-100)2+400Ro (Ro-100)2+400 Ro 由P1的结果不难看出，当Ro=100Ω时，P1为最大值，其最大值Pmax= 25 = 1 W 16 (2)当电路中电流最小时，电池内电阻r和固定电阻R1 消耗的热功率为P2的总和最小，此时将Ro调到最大值400Ω，P2有最小值 Pmin= ε 2(R+r)= 5 2*100=0.1W Ro+R+r 400+90+10 可见，解电路中的极值问题不光用到函数运算，而且充分了解电流、电阻、电压和功率四者的变化情况。如例2（2）中由P=I2R及R是定值可知，要使P最小，I一定要最小，而只有通过调节滑动变阻器到最大才能实现。 用判别式求极值 对于一元二次方程式y=ax+bx+c 当a0,x= b时有极小值，Ymin=4ac-b2 2a 4a 当a0, x= b时有极小值，Ymax=4ac-b2 2a 4a 如图所示，四个干电池，每个电池ε=1.5v , r=0.5Ω,R1=2Ω,R2=6Ω,R3为变阻器，总电阻是12Ω，问变阻器触头C移至什么位置时，伏特计读数最大，是多少伏？ 解：设Rac=x 则I= nε nr+R1+(R2+x)(R3-x) R2+R3 伏特表读数为V=IR并= nε (nr+R1)(R2+R3)+1 (R2+x)(R3-x) y=(R2+X)(R3-X)=-X2+(R3-R2)X+R2R3可知y 有极大值时，V也有极大值，上式中a=-10, 则 X= b =R3-R2 =12-6Ω =3Ω 2a 2 2 Ymax =4ac-b2=4R2R3-(R2R3)2=81Ω2 4a -4 将（2）代入