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第4章刚体转动.pptVIP

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第4章刚体转动

* * 稳定平衡状态,当其受到微小扰动时,细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.   例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链O相接,并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非 m,l O mg θ * * 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用,由转动定律得 式中 得 m,l O mg θ * * 由角加速度的定义 对上式积分,利用初始条件, m,l O mg θ 解得: 有 * * 力的时间累积效应: 冲量、动量、动量定理. 力矩的时间累积效应: 冲量矩、角动量、角动量定理. * * 一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动 质点定轴转动 * * 定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动 任一质元(视为质点)的质量 其角动量大小 全部质元的总角动量 ∑ ∑ 对质量连续分布的刚体 ∑ * * 刚体的角动量定理 合外力矩 角动量的时间变化率 (微分形式) (积分形式) 冲量矩 角动量的增量 质点的角动量定理 (微分形式) (积分形式) * * (微分形式) (积分形式) ∑ ∑ ∑ 是矢量式 与质点平动对比 * * 由 刚体所受合外力矩 若 则 即 当刚体所受的合外力矩 等于零时, 刚体的角动量 保持不变 * * 万向支架 受合外力矩为零 回转体质量呈轴对称分布; 轴摩擦及空气阻力很小 角动量守恒 恒矢量 回转仪定向原理 其中转动惯量 为常量 若将回转体转轴指向任一方向 使其以角速度 高速旋转 则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响 基 座 回转体 (转动惯量 ) * * 角动量守恒的另一类现象 变小则 变大, 乘积 保持不变, 变大则 变小。 收臂 大 小 用外力矩启动转盘后撤除外力矩 张臂 大 小 * * 直升飞机防止机身旋动的措施 用两个对转的顶浆 (支奴干 CH47) 用 尾 浆 (美洲豹 SA300) ( 海豚 Ⅱ ) * * A、B两轮共轴 A以wA作惯性转动 以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系统受合外力矩为零,角动量守恒。 初态角动量 末态角动量 得 两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度 wAB * * 满足什么条件时,小球(视为质点)摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度 匀质直棒与单摆小球的质量相等 两者共面共转轴 水平静止释放 静悬 弹碰 忽略摩擦 联立解得 0.577 1.861 对摆球、直棒系统 小球下摆阶段 从水平摆到弹碰即将开始, 由动能定理得 其中 球、棒相碰瞬间在铅垂位置,系统受合外力矩为零,角动量守恒。 刚要碰时系统角动量 刚碰过后系统角动量 球 棒 球 棒 弹碰阶段 弹碰过程能量守恒 * * 例 3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 解 (1)小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞,碰撞前后系统角动量守恒 * * (2)由角动量定理 即 (3)考虑到 * * 例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高? l l/2 C A B M N h 解 (1)碰撞前 M 落在 A点的速度 (2) 碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度 * * (3)把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒 解得 演员 N 以 u 起跳, 达到的高度 l l/2 C A B M N h * * 应用:许多现象都可以用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 点击图片播放 * * 力的空间累积效应: 力的功、动能、动能定理. 力矩的空间累积效应: 力矩的功、转动动能、动能定理. 4-4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理 * * 力矩的功: 一 力矩作功 比较

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