第三章偏微分方程的数学性质对CFD的影响.pptVIP

计算流体动力学Computational fluid mechanics 南京工业大学机械与动力工程学院 凌祥 第三章 偏微分方程的数学性质对CFD的影响 拟线性偏微分方程的分类 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 不同类型偏微分方程的一般性质 定解问题的适应性 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 4 举例说明特征值法 B 特征值法 将方程改写成： 其中： 其中： 为求[K]-1，先写出[K]的代数余子 NEXT 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 4 举例说明特征值法 B 特征值法 其转置矩阵还是 推出 * Nanjing University of Technology * 基本概念 记号 函数 偏微分方程 拟线性偏微分方程的分类 偏微分方程阶数 一阶 二阶 四阶 拟线性偏微分方程的分类 偏微分方程线性性质（一阶为例） 拟线性偏微分方程的分类 线性 拟线性 非线性 当一个n价偏微分方程的系数依赖于n阶导数时，此方程是非线性的 当系数依赖于m阶导数，而m＜n时，它就是拟线性的 方程的线性性质极为重要，因为对于线性和拟线性偏微分方程，它们的许多解析性质已被了解，而对于非线性偏微分方程则必须逐个地去研究它。 拟线性偏微分方程的分类 偏微分方程阶数线性性质 拟线性偏微分方程的分类 拟线性偏微分方程的分类 抛物型 椭圆型 双曲型 ? 如何得出的 拟线性偏微分方程的分类 考虑如下拟线性方程组 u和v是未知数，都是x、y的函数。 我们可以把u和v想象成xy平面的连续速度场 拟线性偏微分方程的分类 考虑xy平面的任意一点，如图中P点 写出u和v的全微分 系数矩阵 （1）、（2）、（3）、（4）组合成一个方程组： 拟线性偏微分方程的分类 用克莱默法则求解方程（5）中的 一般情况下， 在P点值是不变的，与通过P点的方向无关。 然而，有个重要的例外： 从P点开始移动，此时 特征线 拟线性偏微分方程的分类 特征线 展开得 令 方程演化为 这样我们可以积分求得特征曲线y=y(x) 拟线性偏微分方程的分类 通过P点得斜率： 判别式： 二次曲线是双曲线 二次曲线是抛物线 二次曲线是椭圆 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 上一节借助克莱默法则得到偏微分方程分类，本节讲另外一种判别方法－特征值法： （8） （9） 先假设上节方程（1）（2）中的 f1、f2为0： 定义列向量： 其中： 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 利用 的特征值就可以确定方程组的类型 如果 的特征值均为实数—— 双曲型 如果 的特征值均为复数—— 椭圆型 二阶波动方程 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 拟线性形式 特征方程 I为单位矩阵 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 二阶波动方程 特征方程有两个实根 波动方程因此是双曲型，容易求出两个左特征向量为 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 二阶波动方程 对应的特征相容关系为： 沿特征线 沿特征线 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 二阶波动方程 引入变量置换： 其中f，g为任意可微函数，因此，波动方程的通解为： 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 考虑初值问题，初始条件为： 则波动方程的解为： 这就是D’Alembert（达朗贝尔）公式 1 双曲型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 根据以上分析，归纳波动方程特点： （也代表双曲型方程的一般性质） 两条特征线和两个特征相容关系。每个特征相容关系在相应的特征线上传播，速度是λk (k=1,2) 两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来偏微分方程等价 时间变量具有单向性。适合推进求解 热传导方程 2 抛物型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 引入变量 拟线性形式 特征方程 其中A为： 2 抛物型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 特征方程的解为一个二重根 即说明热传导方程是抛物型的。 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 抛物型方程特点： 抛物型方程独立的特征向量少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程信息，不可用特征线方法求解； 特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域； 与双曲型方程类似，抛物型方程时间变量也具有单向性，也适合推进求解。 2 抛物型方程 3 椭圆型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 拉普拉斯（Lplace）方程 其中 特征值为 因此，拉普拉斯（Lplace）方程是椭圆方程 3 椭圆型方程 确定偏微分方程的一般方法（特征值法） 椭圆型方程特点： 椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以特征线、相容关系均无