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第八章 应力状态和强度理论 §8?1 概 述 根据应力圆点B的位置可知，最大切应力的作用面与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45?，即右侧图中的abcd截面。 a b c d a c d b a b c d a c d b e f g h 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图中所示。 例题8?5 图a所示应力状态，应力?x = 80 MPa，?x = 35 MPa， ? y = 20 MPa， ? z =-40 MPa，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。 (a) x y ?x ?x ?y ?z ?y z (c) ? C E O D A ? B (b) ?y ?x ?x 解： 1. 画三向应力圆 对于图示应力状态，已知?z为主应力，其它两个主应力则可由?x ，?x与?y确定(图b) 。在? ??坐标平面内(图c)，由坐标(80,35)与(20, -35)分别确定A和B点，然后，以AB为直径画圆并与? 轴相交于C和D，其横坐标分别为： 取E(-40, 0)对应于主平面z，于是，分别以ED及EC为直径画圆，即得三向应力圆。 而最大正应力与最大切应力则分别为： 2. 主应力与最大应力 由上述分析可知，主应力为： §8?5 空间应力状态的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2)在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。 一、双向应力状态的广义胡克定律 σ1 σ1 (b) σ2 σ2 (c) σ1 σ1 σ2 σ2 (a) 当材料处于双向应力状态(图a)时，为计算沿两个主应力方向的应变ε1和ε2 ，可按叠加原理将原应力状态分解为图b和图c两种单向应力状态的叠加。 (a) 式中E为拉、压弹性模量。而垂直于σ1或σ2方向的线应变分别为： 当材料处于图b或图c所示单向应力状态时，沿主应力σ1或σ2方向的线应变分别为： (b) 式中?为泊松比。因此当材料处于图a所示双向应力状态时，沿两个主应力方向的应变ε1和ε2分别为： σy τx τy σx 图 13?11 (8-20) 上式即双向应力状态下的广义胡克定律。而对于图13?11所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为 ： (8-21) 式中γxy是在xy平面内由切应力τx或τy所引起的切应变，G是切变模量。 二、空间应力状态的广义胡克定律 当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为： 式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。 一般空间应力状态下的广义胡克定律为： 例题8?6 有一边长a=200mm的立方体混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座里(图a) 。上表面受压力F＝300kN作用。已知混凝土的泊松比?＝1/6。试求凹座壁上所受的压力FN 。 FNx FNy F a 图(a) FNx 解：混凝土块在z方向受压力F作用后，将在x、y方向发生伸长。但由于x、y方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即 上式即为变形条件。另外，根据对称性可知，试块在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy应相等，即 FNx FNy FNy 图(b) FNx 由三向应力的胡克定律，有： 由上式可解出： 由于试块较小，可近似认为应力分布均匀，则 将有关数据代入，可得 单元体受力变形时其体积的改变率称为体应变q。 σ1 σ2 σ3 σ2 σ1 σ3 设单元体变形前三个边长分别为dx、dy、dz，在受力变形后其边长分别为dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故体应变为： 三、体应变的概念 将上式展开并略去高阶微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律可得： 在一般空间应力状态下，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于该平面内的二向等值拉压，它们引起的体应变为零，故体应变只与三个线应变之和有关，即： 例8—7 一体积为10 mm×10 mm×10 mm的正方形钢块放人宽度也为10 mm的钢槽中如图a所示。在钢块顶部表面作用一合力F＝8kN的均布压力，试求钢块的三个主应力及体应变。已知材料的泊松比ν＝0.33，材料的弹性模量E = 200 GPa，且不计钢槽的变形。 解：由分析可知，正方形钢块处于双向应力状态（图b）。在 y方向的应力为压应力，即 (a) F (b