设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按.pptVIP

从而, (ii) (iii) (iv) 不存在. 综合: 即: | r |1. 例2. 解: 故 故该级数收敛, 且有, 例3. 证: 故此级数发散. 例4.证明级数 收敛, 并求它们的和S. 解: 为求Sn . 故级数 从而 且 S = 2. 性质1. (级数收敛的必要条件). 证: 由于 un = Sn – Sn–1 二、基本性质 注1. 性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件. 也即, 注2.性质1的逆否命题为 这是以后我们判定一个级数发散的重要结论. 例.级数 1 + 2 +… + n +…, 故级数发散. 故此级数发散. 性质2. 则??, ? ?R, 证: 特别 (i) 取? =1, ? = ?1. (ii) 取? = 0. 推论: 证: 由性质2. 矛盾. 性质3. 证: 只证在级数中去掉一项的情形. 其余情形类似. u1 + u2 +… +uk–1+ uk+1 +… 在级数中去掉或增加有限项. 不改变级数的敛散性. 由于uk是常数, 其极限存在且为uk . 因此, 即新级数与原来的级数有相同的敛散性. 性质4. 则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛, 且其和不变. 即, 若 u1+ u2 +…+un +…= S. (收敛) 则任意加括号后所成新级数. (u1+ u2) + (u3+u4+u5) + (u6 + u7) +… = V1+ V2 + V3 +… = S. (收敛) 其中, V1= (u1+ u2), V2= (u3+u4+u5), V3= (u6 + u7)… 证: 用?m表示加括号后所成级数 V1+ V2 + V3 +… = (u1+ u2) + (u4+u4+u5) + (u6 + u7) +…的前m项部分和. 则 ?1 = V1 = (u1+ u2) = S2, ?2 = V1 + V2 = S5, ?3 = V1 + V2 + V3 = S7, … , 一般, 设?m = Sn . 其中 m ? n . 当m??时, n??. 从而 故, 加括号后所成级数收敛于S. 性质4. 若 xn 是无穷小量, yn ? a (?0), 则 1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量. 2. 性质1, 2中的条件有限多个不能丢. 如 n个 注: 例1. 解: 例2. 解: 故 原式 = 0. 看数列 xn = n2, 即， 1, 22, 32, …, n2, …. x 32 22 1 0 当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量). 二、无穷大量 定义2. 若 ?G 0(无论多么大), ?N 0, 当 n N 时, 有 | xn | G ,则称 xn 为无穷大量, 记作 (1) (2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量. 注: x xN+2 ?G x1 0 xN G xN+1 即, 当n N 时, xn 都落在区间 [?G, G]外面. 在 [?G, G]内, 只有 xn 的有限多个项. 例3. 设 | q | 1. 证: ?G 0, (要证?N 0, 当 n N 时, 有 | qn | G ) 要使 | qn | = | q |n G. 只须 则当 n N 时, 有 | qn | G 故 例4. 数列 xn = (1+(?1)n)n 是否为无穷大量? 解: 数列 xn 为 0, 22, 0, 24, 0, 26, …. 如图 x 26 24 x2k+1 22 因不论 n 多么大, 总有 | xn | = | x2k+1 | = 0 G. 所以 xn 不是无穷大量. 定义3. 从几何上看, xn ???. x x1 x2 0 G xn x xn x3 0 ?G x1 x2 xn ?+?. 证: 设 xn 为无穷大量, 要证　 为无穷小量. ?? 0, 因 xn 为无穷大量. 从而 定理2. 若 xn 是为无穷大量, 则　 为无穷小量. 若 xn 是为无穷小量(xn ?0), 则　 为无穷大量. (1) 两个无穷大量的和, 差, 两个无穷大量的商都不一定是无穷大量. 比如, 当n ?+?时, n2 ??, ?n2 ??, 但 n2 + (?n2) = 0, 都不是无穷大量. 但, +?+(+?) = +?, ??+(??) = ??. 注: (2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量. 无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量) 特别, 比如, 当xn = n2 , yn = 0, 则 xnyn = 0 不