两类平均速度的计算公式及应用.doc

两类特殊平均速度的计算公式及应用 金星明 我们知道，速度是用来表示物体运动快慢的物理量。对于速度公式，它不仅适用于匀速直线运动，也适用于变速运动，只不过在变速运动中，它表示物体在通过路程s中的平均速度。在各类物理考试与竞赛中，常常有两类特殊的平均速度计算问题出现。然而由于学生对“平均速度”概念内涵理解的不准确，缺乏深入的认识，往往导致一些“想当然”的错误。为了加深对“平均速度”的理解与应用，弄清知识的来龙去脉，下面就对这两类问题采用“由一般到特殊”的思维方法进行公式推导，并对公式作简要数学分析，从中寻求规律性的结论，以便我们灵活应用。 第1类问题 某物体以平均速度v1行驶路程s1，紧接着又以平均速度v2行驶路程s2。求该物体全程的平均速度。 解：∵ ， ∴ = 即 = （*） 若设m==，n==，则0m、n1且m+n=1，于是公式（*）变形为 = ① 特别地，当s1=s2，即m=n=时，公式①变形为= ② 至此，如果已知物体以不同的（平均）速度运动了两段相等的路程，用公式②计算全程的平均速度就能简化解题过程，提高解题效率。（见例1） 第2类问题 某物体在t1时间内以平均速度v1行驶，紧接着又在t2时间内以平均速度v2行驶。求该物体全程的平均速度。 解：∵ ， ∴ = 即 = （**） 若设p==，q==，则0p、q1且p+q=1，于是公式（**）变形为 = ③ 特别地，当t1=t2，即p=q=时，公式③变形为= ④ 所以，当已知物体以不同的（平均）速度在相等的时间内运动了两段不同的路程，可以用公式④迅速计算出全程的平均速度。（见例2） 从公式①②③④可以看出，上述两类平均速度的计算问题中，全程的平均速度均与全程s的具体数值无关。下面对公式①②③④作简要数学分析： 若假设0v1v2，利用数学知识，我们容易证明： （1）对于公式①②③④，均有v1v2；v1v2； ⑤ （2）对于公式②④，有。 ⑥ 证明：（1）中的结论根据“平均”的概念可以很直观地得到。 （2）∵ -=-=0 ∴ 公式⑤⑥对于解与两类特殊平均速度有关的选择题非常有用，应用它们能对解答进行范围估计，从而可用筛选或排除法进行选择。（见例1） 公式应用举例： 例1、小红骑车上学，当她以4m/s的速度骑完前一半路程时发现时间紧张，为了不迟到，她改用6m/s的速度通过后一半路程，则她通过全程的平均速度是（ ） A、5m/s B、4.8m/s C、5.2m/s D、条件不足，无法判断 分析：此题属于第1类问题，由公式②易算得=4.8m/s，故选B；或由公式③算出=5m/s，又由公式⑥可知5m/s，而选项中只有B符合，故选B。 例2、甲、乙两处相距1500m，小李从甲地出发，前一半时间内步行，速度为1.2m/s，后一半时间内跑步，速度为2.4m/s，求全程的平均速度。 分析：此题属于第2类问题，用公式③可以很快计算出=1.8m/s。 注：计算过程中，我们根本没有使用数据“1500m”，因为我们知道与全路程s无关，可给可不给，属多余条件或称为干扰条件。（思考：练习题中哪些数据是多余条件？） 例3、一人骑自行车从甲地到乙地，全程的平均速度为12km/h，在前2/3路程上的平均速度为10km/h，求后1/3路程上的平均速度是多少？（1998年四川省初二物理竞赛复赛试题） 分析：此题可用公式①来计算，其中=12km/s，v1=10km/h，m=2/3，n=1/3，求v2，即12=，从而解得v2=20km/h。 练习： 1、汽车在平直的公路上从甲地开往乙地，它前一半时间内速度是v1，后一半时间内速度是v2，则在全程中的平均速度为（ ） A、 B、 C、 D、 2、甲、乙两地相距s，小车以不变的速度v1由甲地驶往乙地，又以更大的速度v2驶回甲地，则小车往返甲、乙两地之间的平均速度为（ ） A、 B、 C、 D、 3、一辆汽车从甲地驶往乙地的过程中，前一半路程内的平均速度是30km/h，后一半路程内的平均速度是60km/h，则在全路程内汽车的平均速度为（ ） A、35km/h B、40km/h C、45km/h D、50km/h 4、李明的家距学校600m，某天他上学时，在前3/4时间内以1m/s的速度走完前一段路程，为了不迟到，在后1/4时间内，他改用1.5m/s的速度走完后一段路程，他上学走路的平均速度是（ ） A、1.2m/s B、1.125m/s C、2m/s D、2.5m/s 5、某滑冰运动员，滑一段斜坡，前半段的平均速度是v，后半段的平均