两角差的余弦公式教案.doc

“两角差的余弦公式”教学设计 一、教学内容解析 ? 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点． ? 由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力． ? 教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展． ? 由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路． ? 二、教学目标解析 ?1．知识目标目标情感态度与价值观目标 ? 三、教学重点、难点分析 重点：两角差的余弦公式的推导与运用 难点：两角差余弦公式的推导过程 四、教学问题诊断分析 ? 1．按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展． ? 2．两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是一个难点．因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线． ? 3．尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到．教师需要在引导学生仔细观察cos(+）=coscos－sinsin或cos(－）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理． ? 4．用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别． ? 四、教学支持条件分析? ? 1．学生认知基础：学生对用举反例推翻猜想、以退求进、单位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平． ? 2．教学设备：整节课借助多媒体进行辅助教学，但关键的探究过程和推理过程要借助黑板．在当、、+都是锐角时得到两角和的正弦、余弦公式后，设计多媒体软件取任意角进行验证． ? 五、教学过程设计 ? (一)提出问题?????? ?将教材上的实际问题情境作两点修改： 1：令角度= 2：将求塔高改为求“斜边”的长度 这样问题的最终解决就落在了求的值上，而我们在初中时就知道?，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于 下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 ? 1．明确探究的思路与步骤 ? 问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？ ? 学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明． ? [设计意图]引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性． ? 2．猜想结果 ? 问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？ ? 如果有学生提出，cos(+)=cos+cos，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的． ? [设计意图]让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误． ?问题4：怎样用、的三角函数来表示cos(-)? ?利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP ??　　　　　 ? 问题5：那上面两个式子是否对任意角、都成立呢？ ? 引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证． ? 3．证明结果 ? 问题6：数学结论必须经过严格的逻辑证明．现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确．请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？ ? [设计意图] 让学生通过观察，联想到,终边与单位圆的交点分别为A(cos,sin),B(cos,sin),同时发现的右边与向量数量积公式的坐标表示十分相近，进而联想到= ? ．这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思