中南大学最全高等工程数学试题集(部分含答案).doc

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中南大学最全高等工程数学试题集(部分含答案)

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷 考试日期:2011年 月 日 时间110分钟 注:解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分,每小题3分) (1) 对方程,写出其Newton迭代公式 ,使得由迭代公式产生的序列可以2阶收敛于方程的唯一正根; 解:由牛顿迭代公式得 因其存在2重跟,故需对其进行修正得 (2)在上,设与等价,则当满足 φ(x)于[a,b]一阶导数存在, 当x∈[a,b]时,有φ(x)∈[a,b] 和 |g'(x)|≤L≤1,x∈[a,b]时,由()产生的序列收敛于方程的根; (3)用Doolittle分解法求方程 则:= ,= ,解= ; 解: ,,, , , ,因此,, (4)已知 ,则: =6 ; =6 ; 4+6+5=15 。 (5)已知在区间上通过点,则其三次样条插值函数是满足 在每个子区间上不高于三次的多项式 , S(x),S’(x),S’’(x)在上连续 , 满足插值条件; (6)设有线性回归模型,其中 且相互独立,写出参数的最小二乘估计, 。 解:, 因此得,故 (7)在多元线性回归建模过程中,需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 向后回归法、向前回归法、逐步回归法 。 (8)影响数学模型数值求解结果的误差有: 截断误差 , 舍入误差 , 观测误差 。 二、(本题8分)已知的数据如表: -2 0 2 6 0 4 -2 10 试求三次Newton插值多项式,求的近似值,并给出相应的误差估计式。 x F(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 -2 0 0 4 2 2 -2 -3 -5/4 6 10 3 1 9/32 5 -0.21875 10.21875 2.40625 0.28125 0 因此 而 三、(本题10分)引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划(要求写出计算过程): 解:将约束条件加上松弛变量x3,剩余变量x4和人工变量x5后得到一个有基可行解的典型方程如下: 相应的目标函数为 列出初始单纯形表,并进行迭代得: 基变量 CB XB X1 X2 X3 X4 X5 θ 3 4 0 0 -M X3 0 4 2 1 1 0 0 2 X5 -M 1 1 -0.5 0 -1 1 1 Zj -M 0.5M 0 M -M σ -M-3 0.5M-4 0 M 0 X3 0 2 0 2 1 2 -2 1 X1 3 1 1 -0.5 0 -1 1 — Zj 3 -1.5 0 -3 3 σ 0 -5.5 0 -3 3+M X2 4 1 0 1 0.5 1 -1 — X1 3 1.5 1 0 0.25 -0.5 0.5 3 Zj 3 4 2.75 2.5 -2.5 σ 0 0 2.75 2.5 -2.5+M 这时的检验数已全部非负。得最优解;人工变量X5=0,去掉人工变量部分,得原线性规划问题的最优解为,最优值8.5 (本题8分)某厂生产甲、乙、丙三种产品,都分别经A,B两道工序加工,A工序在设备或上完成,B工序在,,三种设备上完成。已知产品甲可在A,B任何一种设备上加工;产品乙可在任何规格的A设备上加工,但完成B工序时,只能在设备上加工;产品丙只能在与设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。 设备 产品 设备有效台时 设备加工费(元/小时) 甲 乙 丙 5 10 6000 0.05 7 9 12 10000 0.03 6 8 4000 0.06 4 11 7000 0.11 7 4000 0.05 原料费(元/件) 0.25 0.35 0.50 售价(元/件) 1.25 2.00 2.80 (1)建立线性优化模型,安排使该厂获利最大的最优生产计划(不要求计算出结果); (2)写出所建立的模型的对偶形式。 解:(1)设在A1设备上生产甲x11件,乙x12件,在A2设备上生产甲x21件,乙x22件,丙x23件,在B1设备上生产甲x31件,乙x32件,在B2设备上生产甲x41件,丙x43件,在B3设备上生产甲x51件 由已知条件得 因目标函数为最大值,而线性规划方程符合要求,故不需转换形式,由此得: (本题12分)一种生产降血压药品的生产厂家声称,他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明

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