中南大学高等工程数学试题.doc

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若函数,且有和, 则方程在上的解存在唯一，对 任意为初值由迭代公式产生的序列一定收敛于方程 在上的解，且有误差估计式； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个有哪些信誉好的足球投注网站方向总是垂直的 ； 4．已知函数过点，，设函数是的三次样条插值函数，则满足的三个条件（1）在每个子区间（i=1，2，…，n）上是不高于三次的多项式；（2）S（x），S’（x），S’’（x）在上连续；（3）满足插值条件S（xi）=yi（i=1，2，…，n）； 5．随机变量为样本，是样本均值，则 N（3，0.4）； 6．正交表中各字母代表的含义为 L表示正交表，N表示试验次数，n、m表示因子水平数，p、q表示试验至多可以安排因素的个数 ； 7．线性方程组其系数矩阵满足 A=LU，且分解唯一 时，可对进行解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第步消元的主元akk为 8．取步长，用Euler法解的公式为 。 二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。 微型车 中级车 高级车 资源可用量 钢材（吨） 1.5 2 2.5 6000（吨） 人工（小时） 30 40 50 55000（小时） 利润 2 3 4 解：设微型车生产了x1辆，中级车生产了x2辆，高级车生产了x3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件： 钢材：1.5x1+2x2+2.5x3≤6000 人工：30x1+40x2+50x3≤55000 生产数量：x1≥1500 x2≥1200 x3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c1x1+c2x2+c3 三、（本题10分）已知的数据如表： 0 1 2 5 -5 3 0 6 用Newton插值法求的三次插值多项式，计算的近似值，给出误差估计式。 解： xi F(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 -5 1 3 8 2 0 -3 -11/2 5 6 2 5/4 27/20 6 12.5 6.5 4.5/4 -0.025 -0.2292 因此，而 四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为并假设，，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 样本方差 F值 组间SSA 66 2 33 6.286 组内SSE 63 12 5.25 总和SST 129 14 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案） 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取，） 解：（1）见表中红色部分 设H0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量 ，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得，因为F=6.286，所以拒绝H0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。 五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解 （本题10分）试确定求积公式 中的待定系数，使其代数精度尽量高。 解：将分别代入式中得 ，因此得 七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？ （2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。 表 两列间交互作用表 列号 (列号) 1 2 3 4 5 6 7 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4)