中国剩余定理的改进.doc

孙子定理的一点改进 摘要：对孙子定理稍加改进，略去了定理的最后一步．从而减少了计算的工作量，特别是未知量多时，使位数大大降低． 关键词：同余方程　算法　完全剩余系 关于解联立同余方程组的问题，我国古代取得了辉煌的成果，这就是著名的中国剩余定理，又称孙子定理 1, 在孙子算经里曾提出并解决了下列的问题 ＂今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？＂ 其解法为＂三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并得之得二百三十三，以二百十减之即得＂答案是＂有物二十三＂ 把这个问题的提法和解法用现在的说法来表达，它可以写成这样： 解同余方程组： 这个具体问题得答案是 一般来说，若一数用3除余a,用5除余b, 用7除余c,则此数是 关于这个问题的一般解法，在明朝程大位的《算法归宗》里有一首歌，就是＂三人同行七十稀，五朵梅花二十一，七子团圆整半月，除百零五便得知＂究竟70,21,15是怎样得来得呢？这将从下列定理中看出： 定理：若是两两互质的正整数，令 则） 这n个同余式只有一个公共解． 这就是著名的中国剩余定理，又称孙子定理[1][2][3],中国历代数学家曾经给这个定理内的各种数规定了一定的名称，笔者认为清朝黄宗宪的＂大衍求一术＂的规定最为全面，他是这样规定的： 定母： 衍母： 衍数： 乘数： 用数： 剩数； 各总： 所求率： 所求总：所求率被M除后的最小正余数． 2, 笔者在研究洛阳民间流传的拣桃问题中［4］，遇到了需要求十四个同余式组成的同余方程组。 　 这个问题的是一个十六位的数字，就更大了，这就迫使笔者考虑这一问题，孙子定理能否改进． 3, 笔者改进的算法如下： 令：使 再令使 依次类推，若已经求出则令使其 这里的，这算法是递推的 证明：用数学归纳法 当t=1时又故 又所以是一个完全剩余系，从而即 故 　　　假设 以本文开头的题目为例，用我们改进的算法来解： 令： 令 即 　　　上面提到的实际问题用此法解得 　　　　 再举一个例题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余五，问本数？ 解： 参考文献： [1]华罗庚　《数论导引》　　第一版，北京　　科学出版社　1957 32--34 [2]闵嗣鹤　《初等数论》　　第二版　　北京　　人民教育出版社 1982 61--63 [3]陈景润　《初等数论》　　第一版　北京　　科学出版社 1978 83--85 [4]符文通 马国祥 从拣桃问题谈起 《全国第五届MPMH会议文集》　西南交通大学出版社1994 334—339 洛阳大学学报(自然科学版) 1995年第二期 … - 52 -