数理方程课件1-2.pptVIP

热传导和扩散方程 热传导方程 热传导：当物体内各处的温度分布不均匀时，就会有热量从温度高的地方流向温度低的地方，这就是热传导。 热量的传递又会引起温度分布的变化。解决热传导的问题，归结为求温度的分布与变化。 推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程 采用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围的区域记作V 假设在时刻t区域V内点 处的温度为 , 为曲面元素 的法向（从V内指向V外） 傅里叶（Fourier）定律：物体在无穷小时间段 内，流过一个无穷小面积 的热量 与时间 ，曲面面积 ，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数 三者成正比， 即 其中k称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。 负号是由于热量的流向和温度梯度的正向方向相反而产生的。 从时刻 到 ,通过曲面S流入区域V的全部热量为 流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 内区域V内各点温度从 变化到 ，则在 内V内温度升高所需要的热量为 其中，c为物体的比热， 为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。 由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即 此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即 同时，右端的体积分可以写成 因此有 由于时间间隔 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即 其中 ——三维热传导方程 若物体内有热源，其强度为 , 则相应的热传导方程为 其中 作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维热传导方程就变成一维热传导方程 和二维热传导方程 扩散方程 扩散： 描写扩散现象的特征物理量应选物质的浓度u(x,y,z,t)。 浓度的不均匀可用浓度梯度 表征。 扩散现象的强弱用扩散流强度q（单位时间、穿过单位截面的物质流量）来描述。 扩散定律：浓度的不均匀程度和引起的扩散现象的强弱之间的关系满足扩散定律 其中，k称为扩散系数。 物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处的运动，称为扩散。 负号表示扩散转移的方向（浓度减少的方向）与浓度梯度（浓度增大的方向）相反。 在空间任取一个微小六面体，如图所示。 这个平行六面体内浓度的变化取决于穿过它的表面的流量。 x方向：设 从左面流入， 从右面流出， 因此单位时间通过左右两面流入的净流量是： 将 代入，得： 如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间的变化率为： 如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为： ——一维扩散方程 令 ，则方程写为： 如考虑x，y，z三个方向，则方程为： 如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为： 类似的，若物体内存在生成该物质的源，其强度（单位时间、单位体积产生之质量）为f(x,y,z,t），则得非齐次的扩散方程 泊松方程和拉普拉斯方程 静电场的电势 静电场中，电荷分布与电场强度满足方程 因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为u，则 代入方程式（*）中，即得静电势满足的方程 它称为泊松方程，是非齐次的。 对于不存在电荷的区域， ，静电势满足方程 此方程称为拉普拉斯方程。是齐次的。 （*） 由 和 可得： 稳定温度场 在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而改变，趋向于稳定状态。这时， ，齐次的热传导方程便化为稳定温度场的拉普拉斯方程。 热传导方程： 变为： 亥姆霍兹方程 方程形式为： 在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。 薛定谔方程： 其中， 是粒子势能， 是描述微观粒子运动状态的波函数。 用 来代替 ，方程可化为： 当 ，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。 总结 波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程 齐次、非齐次（右端+自由项f(M,t)） 一维、二维、三维 §1-2 定解条件 作为完整的定解问题，除了给出相应问题的泛定方程