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称为贝塞尔函数的模。 傅立叶-贝塞尔级数 往年考题 定解问题的适定性指的是___________________________。 1．定解问题中的定解条件包含________________________， 2. 边值问题 的固有值为 _______ ， _________ ，n = _____________ 。 固有函数为 先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为_________，再设 u( x, t)= ______________________，将自由项按此函数系展开为__________，一起代入原方程，利用初始条件，求出待定函数，最后得u ( x,t ) = _______________。 3. 对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对 定解问题 5. 贝塞尔方程 的通解可表示为 _____________ 。 = ， =_________________________________________。 6. 第一类贝塞尔函数 二、用格林函数法求解球域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题： （10分） 四、（12分）求解下列定解问题 三、（12分）求解热传导方程定解问题 五、（12分）求下列狄利克雷问题的解（其中a为常数） 六、（12分）用达朗贝尔公式求波动方程初值问题 对 进行Fourier级数展开 七、（12分）设 的正根为 ，将函数 展开成贝塞尔函数 的级数 The End Thank you for your attention ! 数理方程 南京邮电大学、应用数理系 三类基本方程在直角坐标系中的表示 一、 波动方程 二、热传导方程 三、拉普拉斯方程 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 定解问题＝泛定方程+定解条件 边界条件确定本征值和本征函数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，自由冷却，边界固定，边界为自由端等）以及初始条件的表述方法。 初始条件确定级数叠加系数 1、线性二阶偏微分方程的一般形式 该方程为齐次的 该方程为非齐次的 数学物理方程的分类 方程为双曲型 方程为抛物型 方程为椭圆型 若方程中与u有关的项幂指数均为1，方程为线性。 行 波 法 一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题 ——达朗贝尔公式 对无限长区域内的波动方程，任意扰动总是以行波的形式分为 两个方向传播出去，波速为 ，也即 : 以速度 沿 负方向移动的行波 以速度 沿 正方向移动的行波 通解的物理意义： 二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法： 其特征方程为： 其特征方程的解即为特征线方程： 如 双曲型方程 过其中每一点有两条不同的实的特征线 椭圆型方程 过其中每一点不存在实的特征线 抛物型方程 过其中每一点有一条实的特征线 三、傅里叶级数 傅里叶变换式 傅里叶逆变换式 复数形式的傅里叶变换 基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 分离变量(傅立叶级数)法 要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉 斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。 解题步骤: 边界是否齐次 写出本征值、本征函数、待求物理量的傅立叶级数展开式 边界齐次化 写出定解问题 方程非齐次项和初值条件的级数展开 代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数 边界齐次化（考点） 边界条件（四种）： 波动方程： 热传导方程： 拉普拉斯方程： 1、矩形区域： 2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）： 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。 满足有界性条件 的通解为： 在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边的系数，达到化简叠加系数的目的. 求解非齐次方程—特征函数法 将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如： 令： 若 表达式可以写成关于x的正余弦形式， 不用展开，否则， 也需要按W的本征函数展开。 将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。 本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。 格林函数 主要掌握使用格林函数