昆明理工数值分析第六个的理论分析.docxVIP

课题 Ronge现象的产生与克服一、目的和意义1、深刻认识多项式插值的优缺点；2、明确插值方法的不稳定性如何克服；3、体会精度与节点，插值方法的关系；4、利用计算机绘图来显示插值函数，使结果形象化；5、理解三次样条插值在实际应用中的价值。二、问题提出给定函数，，及节点，试用何种插值方法可克服Ronge现象。1、用多项式插值计算出下列插值。，观察是否会产生Ronge现象。2、用下列插值方法进行计算，并比较它们克服Ronge现象的效果。（1）分段线性插值；（2）三次样条函数插值（一），条件共为四个，任意选择两个。此处选择前两个为：三、计算方法及公式对于多项式插值采用拉格朗日插值法，n次插值基函数为其中，k=1，1，…，n+1拉格朗日差值多项式可表示为 注：由于matlab数组的首地址都以1开始，故该插值公式也从1开始。 计算步骤：（1）输入插值节点及节点值。（2）循环计算各次插值基函数值。 （3）累加基函数及对应节点乘积，得到插值结果。2、分段线性插值 根据分段线性插值的定义，在每个区间[xi,xi+1]上，插值函数可表示为 计算步骤：（1）根据输入节点及节点函数值，建立各个区间的插值函数。 （2）根据要插值的节点，判断其所在区间，利用该区间的插值函数计算其插值结果。3、第一类边界条件的三次样条插值 三次样条插值函数在每个区间[xi,xi+1]上，插值函数的表达式如下：其中Mi,Mi+1为节点i及i+1处的弯矩值，为未知量。M的计算方法如下： 由三次样条函数导数连续的性质，可有以下关系式： i=2,3,…n-1。 由于所提供节点为等距节点，故由于边界条件为第一类边界条件，故有因此，可以组成三对角方程组利用追赶法对M进行求解。 计算步骤：（1）根据已知节点值及边界点一阶导数值，组成M求解的系数矩阵以及求解向量d。 （2）利用追赶法求解M。 （3）根据要插值的节点，判断其所在区间，利用该区间的插值函数计算其插值结果。、程序运行结果及结果分析1、三种插值方法运行结果图形（分别见图1、图2和图3）图1 11节点拉格朗日插值曲线与原函数理论曲线图211节点分段线性插值曲线与原函数理论曲线图3三次样条插值曲线与原函数理论曲线三种方法的插值结果及误差分析 三种方法均为11点10区间的插值，结果及相对误差如下（见表1）：表1 多项式插值、分段线性插值、样条插值结果比较xy多项式插值分段线性插值样条插值插值结果相对误差(%)插值结果相对误差(%)插值结果相对误差(%)-4.950.03921 0.72607 1751.6627 0.03948 0.6829 0.03921 0.0043 -4.450.04807 1.41426 2842.0201 0.04966 3.3065 0.04819 0.2529 -3.950.06023 -0.02861 -147.5056 0.06088 1.0799 0.06017 -0.1008 -3.450.07750 -0.20260 -361.3983 0.08147 5.1174 0.07681 -0.8937 -2.950.10307 0.12907 25.2327 0.10500 1.8763 0.10325 0.1774 -2.450.14281 0.25341 77.4491 0.15500 8.5388 0.14507 1.5834 -1.950.20822 0.19490 -6.3990 0.21500 3.2538 0.20729 -0.4484 -1.450.32232 0.25192 -21.8419 0.36500 13.2413 0.31155 -3.3403 -0.950.52562 0.53517 1.8166 0.52500 -0.1187 0.52909 0.6586 -0.450.83160 0.87137 4.7817 0.77500 -6.8062 0.85022 2.2385 01.00000 1.00000 0.0000 1.00000 0.0000 1.00000 0.0000 0.450.83160 0.87137 4.7817 0.77500 -6.8062 0.85022 2.2385 0.950.52562 0.53517 1.8166 0.52500 -0.1187 0.52909 0.6586 1.450.32232 0.25192 -21.8419 0.36500 13.2413 0.31155 -3.3403 1.950.20822 0.19490 -6.3990 0.2150