晶体学基础-郑启泰讲稿-清华.ppt

目 录 一 图形移置 二 图形对称 三 晶体中的对称元素 1 晶体与非晶体 2 晶体的特征对称元素 3 晶体的宏观对称元素 4 晶体的微观对称元素 四 有限图形与无限图形的对称元素组合定理 1 概述 2 基本组合定理 3 对称群及其表示(几何学，代数学) 五 32点群与47单形 六 14平移群与14平移点阵 七 230空间群 八 结语 一、图形移置 移置系指研究相等图形之间的相互位置的问题。如果相互关联的两个相等图形有相同的定向，则称迭合相等；如果相互关联的两相等图形有相反定向，则称对映相等。在三维空间的几何图形移置总共含有以下八种类型： 1 平面反映 若移置图形的对应点连线垂直于平面并被平分，且互为对映镜像，称为平面反映移置，由它联系的两个图形互为对映相等(图)，此类移置称为第二类移置。如图中的定向四面体： 2 点反射(倒反) 被移置图形的对应点连线被一点(反射点)平分，二图形互呈对映镜像(图)，为第二类移置。 3 旋转 相等图形(A与A′)中的对应点连线垂直于旋转轴(N)且与轴呈相等距离，处于同一平面内，称为第一类移置。呈迭合相等图形。 4.1 旋转反映 图形移置包含两个步骤：先进行以N为轴的旋转(2?/N)，然后再以垂直于N轴的平面进行反映(图)，该移置称为旋转反映。由此关联的图形呈对映相等，属第二类移置。 4.2 旋转反射 图形移置包括两个步骤，先进行以N为轴的旋转(2?/N)，然后再以轴上的一点倒反(图)，该移置称为旋转反射。由此关联的图形呈对映相等，属第二类移置。且所有连接对应点的线段均被倒反中心平分。 5 平移 图形从起始位置按给定周期移置， 该移置称为平移，相关联的图形为叠合相等，属第一类移置。 6 滑移反映 移置含有两个步骤: 图形先经平面反映，相继进行平行于平面的平移，该移置称为滑移反映移置。相等图形互呈对映相等，属第二类移置。 7 螺旋旋转 包含两个移置步骤：先绕N轴旋转2?/N，然后在沿N轴方向平移t/N(t为整数，等于(N-1)/N)，该移置称为螺旋旋转移置，相关的图形为叠合相等，属第一类移置。 8 恒等(不动)移置 为绕N轴旋转2?(即不动)的移置。显见为第一类移置。 第一类移置：包含平移，旋转(含恒等)，螺旋旋转，图形为迭合相等；第二类移置：倒反，平面反映，旋转反映，旋转反射，滑移反映，图形为对映相等。 二 图形的对称 1 图形的对称特征 任何一个对称图形可分为若干个相等部分；而且在图形移置中包含有至少一个不动的几何元素(点、线、面)。则对应的几何元素定义为：倒反(对称中心)、对称面(反映面)、对称轴、反轴、平移、螺旋轴、滑移面共七类。 2 对称是图形移置的特例 系指移置后的图形是其自身重复。对称是图形移置的特例。虽然上述描述仅仅是从几何学入手的一种方法，但具有直观、形象、几何关系清晰等特点。如果把实现图形对称变换过程中不动几何元素视为基本元(要)素，那么这些对称元素就能组合成一定的集合－群。 对称是物质世界的基本几何属性，它是在一定的测量精度范围内的一种相对规律。比如平移对称元素就是这一相对规律的最好例证。晶体对称性是在晶体这种特定的物质图形上的具体反映。这是从几何学角度认识图形对称性质的方法。 若一个图形可分为若干个相等部分，经移置后能自身重复，同时图形中含有不动的几何元素(点、线、面)，则称该图形具有对称性。不动的几何元素就称为对称元素。在传统的几何晶体中可概括为：对称轴N、对称面m、反轴-N、对称中心-1、平移T、螺旋轴Nt与滑移面mt，字母所示为相应的国际通用符号。 3.1 对称操作 如图所示(正三角形、正方形)几何图形经过某一对称元素操作后，图形自身重复，此操作称为对称操作。在完成几何图形的对称操作过程中，图形中任意两点间的距离不变。如果几何图形在移置中至少有一点不动，则称为点操作；否则称为空间对称操作。 3.2 对称变换 如果将图形抽象为一个几何点，并且引入一个参考系(坐标系)，使坐标轴(系)与对称元素形成一定的联系。如包含3(或6)次轴的坐标系，要求3(或6) 次轴平行于坐标系的Z轴。此时一个几何图形的对称操作(几何学)就表现为在OXYZ坐标系中，诸点间(A→A′→A′′→A′′′)的变换，这一变换的特点不是以图形表示而是以他们在坐标系中的点位置(xyz)，(x′y′z′)来形成一个点系，并以符号的形式记录下这一对称操作过程，称之为对称变换。它是实正交变换中的一个重要内容。