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曲率及其计算公式

一、弧微分 二、曲率及其计算公式 例1 计算等双曲线x y ?1在点(1,1)处的曲率. 例2 抛物线y?ax2?bx?c 上哪一点处的曲率最大? 三、曲率圆与曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适? * §3.9 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 有向弧段的值、 弧微分公式 曲率、 曲率的计算公式 曲率圆曲率半径 s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0,相反时s0. 有向弧段 的值 s(简称为弧s) : M M0 ( x y O M0 x0 M x s0 x y O M0 x0 M x s0 显然,弧 s 是 x 的函数:s?s(x),而且s(x)是x的单调增加函 数. 设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线 y?f(x)上的对应点为M,M?,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增 量为Ds,于是 下面来求s(x)的导数及微分. M0 M M ? x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds ?1, 因为 因此 由于s?s(x)是单调增加函数,从而 于是 ds ? 这就是弧微分公式. ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系: 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度, M0 M M ? Ds Da x y O a+Da ) a ) s C 设曲线C是光滑的,曲线 线C上从点M 到点M ?的弧 为Ds ,切线的转角为Da . 平均曲率: 曲率: 曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是y?f(x),且f(x)具有二阶导数. 于是 从而,有 因为tan a ?y ? ,所以 解 因此,y?|x?1??1,y??|x?1?2. 曲线x y ?1在点(1,1)处的曲率为 解 由y?ax2?bx?c,得 y??2ax?b ,y???2a , 代入曲率公式,得 要使K 最大,只须2ax?b?0, 抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为 K?|2a| . 对应的点为 2.若曲线由参数方程 给出,那么曲率如何计算? 1.直线上任一点的曲率等于什么? 讨论: 提示:设直线方程为y=ax+b,则y? =a, y?? = 0.于是 提示: . 曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系: 曲线在M点的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径 曲线在M点的曲率圆 4 2 O 2 x y y=0.4 x2

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