流体力学讲义.doc

第八章、 管路流體(Flow in pipes) 如第二章所述，流體在管路內產生流動的方法，若是由於管路內有壓力降（pressure drop），例如普通水管内之流場，此類流動稱之為波蘇拉（Poiseuille）流動。 本章將詳述管路內流體因壓力降而產生之流場，速度分佈(velocity profile)、壓力降(pressure drop)、及層流(laminar flow)與紊流(turbulent flow)之物理現象。 層流及紊流 例如下圖之蠟燭火焰上之煙霧，可分為平滑之層流(laminar) 區與紊亂之紊流(turbulent)區。 同樣，流體中加入染劑，當流速小時，染劑之流動平滑且穩定，此時流場稱為層流；當速度增加，將會產生一些速度之混亂波動(velocity fluctuation)，此稱為轉換區(transition)；當速度增加夠大，速度之混亂波動變成非常不穩定，此時稱為紊流(turbulent)。 除流體速度外，實驗證明當流體之黏滯力大時，或管路直徑小時，流場較容易成為層流，故用一無因次(non-dimensional) 之參數表示流場之混亂度。 雷諾數(Reynolds number) 雷諾數定義如下： 其中 L 為一特徵長度(characteristic length)，在管路流此長度為圓管直徑 D。 雷諾數之物理意義為： 當雷諾數低於 ~ 2300，流場為層流。 當雷諾數大於 ~ 2300 時，流場變為過度區，當雷諾數大於約 ~4000時流場變為完全之紊流，速度分佈亦會改變，管路中心大部分區域流體速度分佈較層流為平滑，而靠近邊界處流體速度變化很大，故最大速度與平均速度之比值較層流為小。 水力直徑(hydraulic diameter) 當管路非圓管時，流體之雷諾數中之管路直徑改以水力直徑代替，其定義為： 其中Ac 為管路之截面積(cross-sectional area)， p 為與流體接觸之周邊(wetted perimeter)。 管路之進口區(entrance region)與完全成形區(fully-developed region) 流體剛流進管路時，速度分佈尚未有變化(flat velocity profile)，流場亦為非旋轉流場(irrotational flow)，流進管路後因流體與管路間之黏滯力造成邊界層(boundary layer)產生與增厚，邊界層增厚至管路半徑後不再增加，由管路進口到此處之距離稱為『進口區』，自此以後流體之速度分佈不再改變，此區稱為『完全成形區』。 完全成形區之重要性為，在此區域流場不因x方向之位置而改變，即 ，例如流體速度分佈，在進口區基本上是一個三度空間流場： 其分析相當複雜，而在完全成形區，速度不因位置而變，即 若流體速度對 ( 方向為對稱，則 ， 故速度只有在徑向有變化，流場分析較為容易，故一般在管路內之實驗均於此區進行。 圓形管路內紊流之進口區長度約為直徑之十倍左右。 進口區另一重要性在於其之邊界層較薄，故此處之牆壁剪應力 (wall shear stress) 較大(Why?)，因此壓力降亦大。 Wall shear stress: 圓管內之層流(Laminar flow in pipes) 當流場為穩定、不可壓縮、在完全成形區時，層流流場之速度分佈可由下列微小控制容積力之平衡得之(注意：此微小控制容積形狀類似於一圓戒)： (完全成形區內流體之壓力與黏滯力達到平衡) as dx(0，dr(0： 因為 (為何負值?) 此方程式等號左邊為 r 之函數，等號右邊為 x 之函數，故左右兩邊都必須等於一個常數。 Proof: 管路內流體壓力與管壁之牆壁剪應力(磨擦力)平衡如下： 而在完全成形區內流體與管壁間之牆壁剪應力為常數(Why?)，故 dP/dx = a const. 流體之速度分佈可積分為： 其邊界條件為 當 r =0 時速度為有限 (故 C1 = 0) 當 r = R 時 u = 0 (故 ) 故速度分佈為拋物線(parabola): 其中 (dP/dx) 為負值(Why?)，稱為(x方向之)壓力梯度 (pressure gradient)。 此速度分佈之平均速度為： 故 當 r = 0 時速度為最大： 故最大速度為平均速度之兩倍。 壓力降(pressure drop) 及壓力頭損失(head loss) 管路內流體與管壁間之磨擦力造成流體之能量損失，故壓力下降，此下降壓力之多寡稱為壓力降或壓力損失，